Методы решения систем уравнений с двумя переменными

п.1. Метод подстановки

Например:
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x^2+y=10} & \\ \mathrm{x-y=2} & \end{array}\right. \)
Шаг 1. Из второго уравнения x = y + 2
Шаг 2. Подставляем в первое уравнение:
\(\mathrm{ (y+2)^2+y=10\Rightarrow y^2+4y+4+y-10=0\Rightarrow y^2+5y-6=0\Rightarrow }\)
\( \mathrm{(y+6)(y-1)=0\Rightarrow} \left[ \begin{array}{ l } \mathrm{y_1=-6} & \\ \mathrm{y_2=1} & \end{array}\right. \)
Шаг 3. Находим x₁ = –6 + 2 = –4, x₂ = 1 + 2 = 3
Ответ: {(–4; –6); (3; 1)}.

п.2. Метод сложения

Например:
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x^2+y=10} & \\ \mathrm{x-y=2} & \end{array}\right. \)
Сразу переходим к шагу 2, складываем оба уравнения, получаем:
\(\mathrm{ x^2+x=12\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow (x+4)(x-3)=0\Rightarrow } \left[ \begin{array}{ l } \mathrm{x_1=-4} & \\ \mathrm{x_2=3} & \end{array}\right. \)
Находим соответствующие y:
y₁ = x₁ – 2 = –4 – 2 = –6,    y₂ = x₂ – 2 = 3 – 2 = 1
Ответ: {(–4; –6); (3; 1)}.

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

Например:
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{\frac1x+\frac1y=7} & \\ \mathrm{\frac2x-\frac3y=4} & \end{array}\right. \)
Замена переменных: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=\frac1x} & \\ \mathrm{b=\frac1y} & \end{array}\right. \)

Перепишем систему: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a+b=7} & \\ \mathrm{2a-3b=4} & \end{array}\right. \)

Решаем: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a+b=7}\ \ |\times 2 & \\ \mathrm{2a-3b=4} & \end{array}\right.\Rightarrow (-)\left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{2a+2b=14} & \\ \mathrm{2a-3b=4} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{5b=10} & \\ \mathrm{a=7-b} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=5} & \\ \mathrm{b=2} & \end{array}\right. \)
Возвращаемся к исходным переменным:
$$\mathrm{ x=\frac1a=\frac15,\ \ y=\frac1b=\frac12 }$$ Ответ: \(\mathrm{ \left(\frac15;\ \frac12\right) }\).

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x+y=8} & \\ \mathrm{x^2+xy-3=37} & \end{array}\right. \)
Решаем методом подстановки: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y=8-x} & \\ \mathrm{x^2+x(8-x)-3=37} & \end{array}\right. \)
Для нижнего уравнения: \( \mathrm{x^2+8x-x^2-3=37\Rightarrow 8x=40 \Rightarrow x=5} \)
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm{y=8-5=3} \)

Ответ: (5; 3).

б) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x^2+y=1} & \\ \mathrm{x^2-y=10} & \end{array}\right. \)
Решаем методом сложения: \( \mathrm{2x^2=8\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2} \)
Находим y: y = 1 – x² = 1 – 4 = –3

Ответ: {(–2; –3); (2; –3)}.

в) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x+xy=15} & \\ \mathrm{x-3xy=-25} & \end{array}\right. \)
Решаем методом сложения: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x+xy=15\ \ |\times 3} & \\ \mathrm{x-3xy=-25} & \end{array}\right.\Rightarrow (+) \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{3x+3xy=45} & \\ \mathrm{x-3xy=-25} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{4x=20} & \\ \mathrm{xy=15-x} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=5} & \\ \mathrm{y=\frac{15-x}{x}=\frac{15-5}{5}=2} & \end{array}\right. $$

Ответ: (5; 2).

г) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x^2+y^2=13} & \\ \mathrm{x-4y+5=0} & \end{array}\right. \)
Решаем методом подстановки: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=4y-5} & \\ \mathrm{(4y-5)^2+y^2=13} & \end{array}\right. \)
Для нижнего уравнения: \( \mathrm{16y^2-40y+25+y^2=13\Rightarrow 17y^2-40y+12=0} \) $$ \mathrm{D=40^2-4\cdot 17\cdot 12=1600-816=784=28^2}\\ \mathrm{y=\frac{40\pm 28}{34}=} \left[ \begin{array}{ l } \mathrm{y_1=\frac{6}{17}} & \\ \mathrm{y_2=2} & \end{array}\right. $$ Подставляем в верхнее уравнение: $$ \mathrm{x_1=4\cdot\frac{6}{17}-5=\frac{24-85}{17}=-\frac{61}{17}=-3\frac{10}{17},\ \ x_2=4\cdot 2-5=3} $$

Ответ: \( \mathrm{\left\{(3;\ 2);\ \left(-3\frac{10}{17};\ \frac{6}{17}\right)\right\}} \).

д*) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x^2+2xy+3y^2=17} & \\ \mathrm{5x^2-3xy+y^2=3} & \end{array}\right. \)
Умножим первое уравнение на 3, второе – на 17, и отнимем одно из другого. $$ (-)\left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{3x^2+6xy+9y^2=51} & \\ \mathrm{85x^2-51xy+17y^2=51} & \end{array}\right.\Rightarrow 82x^2-57xy+8y^2=0 $$ Получили однородное уравнение. Поделим его на \( \mathrm{y^2:\ 82\left(\frac{x}{y}\right)^2-57\left(\frac{x}{y}\right)+8=0} \)
Решаем полученное квадратное уравнение: $$ \mathrm{D=57^2-4\cdot 82\cdot 8=3249-2624=625=25^2,}\ \ \mathrm{\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{57\pm 25}{164}}= \left[ \begin{array}{ l } \mathrm{\frac{8}{41}} & \\ \mathrm{\frac12} & \end{array}\right. $$ Получаем: \( \left[ \begin{array}{ l } \mathrm{x=\frac{8}{41}y} & \\ \mathrm{2x=y} & \end{array}\right. \)
Подставляем первую пропорцию в первое уравнение системы: \begin{gather*} \mathrm{ \left(\frac{8}{41}y\right)^2+2\cdot\frac{8}{41}y\cdot y+3y^2=17\Rightarrow \left(\frac{64}{1681}+\frac{16}{41}+3\right)y^2=17\Rightarrow }\\ \mathrm{ y^2=\frac{17\cdot 1681}{5763}=\frac{1681}{339}=\frac{41^2}{339}\Rightarrow y=\pm\frac{41}{\sqrt{339}},\ \ x=\pm\frac{8}{41}\cdot\frac{41}{\sqrt{339}}=\pm\frac{8}{\sqrt{339}} } \end{gather*} Подставляем вторую пропорцию в первое уравнение системы: $$ \mathrm{ x^2+2x\cdot 2x+3\cdot(2x)^2=17\Rightarrow 17x^2=17\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1,\ \ y=\pm 2 } $$

Ответ: \( \mathrm{\left\{(1;\ 2);\ (-1;\ -2); \left(\frac{8}{\sqrt{339}};\ \frac{41}{\sqrt{339}}\right);\ \left(-\frac{8}{\sqrt{339}};\ -\frac{41}{\sqrt{339}}\right)\right\}} \).

Пример 2*. Решите систему уравнений с помощью замены переменной:
a) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x+y+xy=26} & \\ \mathrm{xy(x+y)=160} & \end{array}\right. \)
Замена переменных: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=x+y} & \\ \mathrm{b=xy} & \end{array}\right. \) \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a+b=26} & \\ \mathrm{ab=160} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=26-b} & \\ \mathrm{(26-b)b=160} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=26-b} & \\ \mathrm{-b^2+26b-160=0} & \end{array}\right.\Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=26-b} & \\ \mathrm{-b^2-26b+160=0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=26-b} & \\ \mathrm{(b-10)(b-16)=0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{ l } \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{a_1=16} & \\ \mathrm{b_1=10} & \end{array}\right.& \\ \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{a_2=10} & \\ \mathrm{b_2=16} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*} Возвращаемся к исходным переменным: \(\left[\begin{array}{ l } \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x+y=16} & \\ \mathrm{xy=10} & \end{array}\right.& \\ \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x+y=10} & \\ \mathrm{xy=16} & \end{array}\right. \end{array}\right. \)
Решаем первую систему: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x+y=16} & \\ \mathrm{xy=10} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=16-y} & \\ \mathrm{(16-y)y=10} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=16-y} & \\ \mathrm{16y-y^2=10} & \end{array}\right.\Rightarrow \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=16-y} & \\ \mathrm{y^2-16y+10=0} & \end{array}\right. \)
$$ \mathrm{ D=16^2-40=216,\ \ y_{1,2}=\frac{16\pm\sqrt{216}}{2}=8\pm\sqrt{54} } $$ $$ \mathrm{ x_{1,2}=16-(8\pm\sqrt{54})=8\pm\sqrt{54} } $$ Решаем вторую систему: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x+y=10} & \\ \mathrm{xy=16} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=10-y} & \\ \mathrm{(10-y)y=16} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=10-y} & \\ \mathrm{10y-y^2=16} & \end{array}\right.\Rightarrow \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=10-y} & \\ \mathrm{y^2-10y+16=0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=10-y} & \\ \mathrm{(y-2)(y-8)=0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{ l } \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x_3=8} & \\ \mathrm{y_3=2} & \end{array}\right.& \\ \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x_4=2} & \\ \mathrm{y_4=8} & \end{array}\right. \end{array}\right. \)

Ответ: \(\mathrm{\left\{(8-\sqrt{54};\ 8+\sqrt{54});\ (8+\sqrt{54};\ 8-\sqrt{54});\ (8;\ 2);\ (2;\ 8)\right\}}\).

б) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x+y=3} & \\ \mathrm{(x^2+y^2)xy=10} & \end{array}\right. \)
Замена переменных: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=x+y} & \\ \mathrm{b=xy} & \end{array}\right. \)
Выразим (x² + y²) через a и b:
x² + y² = (x² + y² + 2xy) – 2xy = (x + y)² – 2xy = a² – 2b
Подставляем: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=3} & \\ \mathrm{(a^2-2b)b=10} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=3} & \\ \mathrm{9b-2b^2=10} & \end{array}\right. \)
Решаем нижнее уравнение: 2b² – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm{ D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac{9\pm 1}{4}} = \left[\begin{array}{ l } \mathrm{b_1=2} & \\ \mathrm{b_2=2,5} & \end{array}\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: \( \left[\begin{array}{ l } \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x+y=3} & \\ \mathrm{xy=2} & \end{array}\right.& \\ \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x+y=3} & \\ \mathrm{xy=2,5} & \end{array}\right. \end{array}\right. \)

Решаем первую систему: \( \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x+y=3} & \\ \mathrm{xy=2} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x=3-y} & \\ \mathrm{(3-y)y=2} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x=3-y} & \\ \mathrm{y^2-3y+2=0} & \end{array}\right.\Rightarrow \)
\( \Rightarrow \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x=3-y} & \\ \mathrm{(y-1)(y-2)=0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{ l } \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x_1=2} & \\ \mathrm{y_1=1} & \end{array}\right.& \\ \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x_2=1} & \\ \mathrm{y_2=2} & \end{array}\right. \end{array}\right. \)

Решаем вторую систему: \( \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x+y=3} & \\ \mathrm{xy=2,5} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x=3-y} & \\ \mathrm{(3-y)y=2,5} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x=3-y} & \\ \mathrm{y^2-3y+2,5=0} & \end{array}\right. \)
D = 9 – 10 = – 1 < 0 – решений нет.

Ответ: {(2; 1) ; (1; 2)}.