Испытания Бернулли

п.1. Схема Бернулли

Например:
Стрелок попадает в мишень с вероятностью p = 0,8.
Найдите вероятности для события X – количества попаданий в серии из 4 выстрелов.

X = {0;1;2;3;4} – возможные значения X.
q = 1 – p = 0,2 – вероятность неудачи.
Полное пространство элементарных событий («+» – попал, «–» – не попал)
\begin{gather*} \mathrm{ P(X=0)=q\cdot q\cdot q\cdot q=q^4=C_4^0q^4 }\\ \mathrm{ P(X=1)=4pq^3=C_4^1pq^3 }\\ \mathrm{ P(X=2)=6p^2q^2=C_4^2p^2q^2 }\\ \mathrm{ P(X=3)=4p^3q=C_4^3p^3q }\\ \mathrm{ P(X=4)=p^4=C_4^4p^4 } \end{gather*} Мы видим, что для вероятностей в выборках не важен порядок успехов и неудач, т.е. выборки с точки зрения подсчёта вероятности являются неупорядоченными. Соответствующее количество попыток будет определяться сочетаниями без повторений из n по k:
\(\mathrm{C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}}\) – или биномиальными коэффициентами (см. §36 данного справочника).
Для количества попаданий в серии из 4 выстрелов получаем:

п.2. Биномиальное распределение

Например:
В семье четверо детей. Определите вероятность, что двое из детей – девочки.
Вероятность рождения девочки p = 1/2. $$ \mathrm{ P_4(2)=C_2^4p^2q^2=\frac{4\cdot 3}{1\cdot 2}\cdot \left(\frac12\right)^4=\frac38 } $$ (Сравните с решением примера 3(1), §37 данного справочника, где при другом подходе был получен такой же результат).

Например:
Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,85. Найдите наиболее вероятное количество попаданий в серии из 7 выстрелов и вероятность этого события.
Наиболее вероятное количество попаданий: k* = np = 7 · 0,85 = 5,95 ≈ 6.
Вероятность: \(\mathrm{P_n(k^{*})=P_7(6)=C_7^6p^6q=7\cdot 0,85^6 \cdot 0,15 \approx 0,396}\).
Ответ: 6; 0,396.

п.3. Примеры

Пример 1. В урне 15 белых и 9 черных шаров. Из урны достают шар, отмечают его цвет, затем возвращают обратно в урну и все шары перемешивают.
1) Найдите вероятность того, что в 5 опытах 3 раза шары оказались белыми.
2) Постройте закон распределение для числа появления белых шаров в 5 опытах.

1) Вероятность достать белый шар из урны: \(\mathrm{ p=\frac{15}{15+9}=\frac58 }\).
Вероятность достать черный шар: \(\mathrm{ q=1-p=\frac38 }\).
Искомая вероятность по формуле Бернулли: $$ \mathrm{ P_5(3)=C_5^3p^3q^2=\frac{5\cdot 4}{1\cdot 2}\cdot \left(\frac58\right)^3\cdot \left(\frac38\right)^2=1-\cdot\frac{125\cdot 9}{8^5}\approx 0,3433 } $$ 2) Число появления белых шаров описывается биномиальным законом распределения.

Максимальная вероятность для k = 3 белых шаров в 5 опытах.
Действительно, математическое ожидание \(\mathrm{k^{*}=np=5\cdot \frac58=\frac{25}{8}\approx 3.}\)
Минимальная вероятность для k = 0 – не достали ни одного белого шара в 5 опытах.

Пример 2*. Вероятность того, что стрелок попадёт меньше 4 раз из 5 выстрелов, равна 0,85. Вероятность того, что он попадёт меньше 3 раз, равна 0,76. Найдите наиболее вероятное количество попаданий в серии из 5 выстрелов и вероятность этого события.

По условию: \(\mathrm{P_5(k\lt 4)=0,85,\ \ P_5(k\lt 3)=0,76}\). Тогда
\(\mathrm{P_5(k\lt 4)-P_5(k\lt 3)=P_5(3)=0,85-0,76=0,009}\)
\(\mathrm{P_5(3)=C_5^3p^3q^2=10p^3(1-p)^2=0,09}\)
\(\mathrm{p^3(1-p)^2=0,009}\)
Решаем уравнение графически: \(\mathrm{(1-p)^2=\frac{0,009}{p^3}}\)

Получаем два решения.
1) Стрелок может быть очень хорош: вероятность попадания p = 0,88
Тогда наиболее вероятное количество попаданий: \(\mathrm{k^{*}=np=5\cdot 0,88=4,4\approx 4}\)
Вероятность этого события: \(\mathrm{P_5(4)=C_5^4p^4q=5\cdot 0,88^4\cdot 0,12\approx 0,3598}\)

2) Стрелок может быть также весьма плох: вероятность попадания p = 0,25
Тогда наиболее вероятное количество попаданий: \(\mathrm{k^{*}=np=5\cdot 0,25=1,25\approx 1}\)
Вероятность этого события: \(\mathrm{P_5(1)=C_5^1pq^4=5\cdot 0,25\cdot 0,75^4\approx 0,3955}\)
Ответ: \(\mathrm{k^{*}=4,\ P_5(4)\approx 0,2598\ \text{или}\ k^{*}=1,\ P_5(1)\approx 0,3955}\).

Пример 3. Среди выпускаемых цехом плат в среднем 0,1% брака.
1) Найдите вероятность того, что среди 50 взятых на проверку качества изделий 2 будут бракованными.
2) Какова вероятность, что хотя бы одно изделие из 50 будет бракованным?
3) Чему равно наиболее вероятное количество бракованных изделий в партии из 50 штук и чему равна вероятность этого события?
4) Какую по количеству партию изделий нужно проверять, чтобы наиболее вероятное количество бракованных изделий было равно 1?

По условию: p = 0,001, n = 50, k = 2
q = 1 – p = 0,999
1) Искомая вероятность: \(\mathrm{P_{50}(2)=C_{50}^2p^2q^{48}=\frac{50\cdot 49}{1\cdot 2}\cdot 0,001^2\cdot 0,999^{48}\approx 0,0012}\)
2) Найдем вероятность того, что все 50 изделий стандартные: $$ \mathrm{ P_{50}(0)=q^{50}=0999^{50}\approx 0,9512 } $$ Вероятность того, что хотя бы одно изделие бракованное: $$ \mathrm{ P_{50}(k\geq 1)=1-P_{50}(0)=1-0,9512=0,0488 } $$ 3) Наиболее вероятное количество: \(\mathrm{k^{*}=np=50\cdot 0,001=0,05\approx 0}\) – ни одного бракованного изделия. Вероятность этого события: \(\mathrm{P_{50}(0)\approx 0,9512}\)
4) \(\mathrm{Np=1\Rightarrow N=\frac{1}{p}=\frac{1}{0,001}=1000}\) – размер партии для проверки.
Ответ: 0,0012; 0,0488; k*=0, P₅₀(0) ≈ 0,9512; 1000.

Пример 4. Монета подбрасывается 7 раз.
1) Какова вероятность, что 7 раз подряд выпадет орел?
2) Постройте закон распределения для события «орел выпал k раз в 7 испытаниях». Сделайте выводы.

1) \(\mathrm{p=q=\frac12,\ n=7,\ k=7}\)
\(\mathrm{P_7(7)=C_7^7p^7q^0=p^7=\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}\approx 0,0078}\).
2)

Распределение является симметричным, т.к. p = q
Максимальная вероятность 27,34% при k* = 3 и k* = 4
Минимальные вероятности 0,78% при k = 0 – выпали все решки, и k = 7 – выпали все орлы.