Иррациональные системы уравнений и неравенств с двумя переменными

п.1. Решение иррациональных систем уравнений

Например:
$$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y=\sqrt{2x-3}} & \\ \mathrm{y-x=-3} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y=\sqrt{2x-3}} & \\ \mathrm{y=x-3} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{2x-3\geq 0} & \\ \mathrm{x-3\geq 0} & \\ \mathrm{y^2=(x-3)^2=2x-3} & \end{array}\right. $$ Решаем неравенства ОДЗ: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{2x-3\geq 0} & \\ \mathrm{x-3\geq 0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x\geq 1,5} & \\ \mathrm{x\geq 3} & \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{x\geq 3} \)
Решаем нижнее уравнение: \begin{gather*} \mathrm{x^2-6x+9=2x-3\Rightarrow x^2-8x+12 = 0\Rightarrow (x-2)(x-6)=0}\\ \mathrm{x_1=2,\ \ x_2=6} \end{gather*} По требованию ОДЗ оставляем только второй корень.
Решение системы: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=6} & \\ \mathrm{y=x-3=3} & \end{array}\right. \)

Ответ: (6; 3).

п.2. Решение иррациональных систем неравенств

Подробней о решении иррациональных неравенств, см. §11 данного справочника.

Например:
Найти решение системы: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{\sqrt{x+2}\gt x+1} & \\ \mathrm{|y-1|\leq 2} & \end{array}\right. \) и изобразить его на координатной плоскости.
Решаем верхнее неравенство: \begin{gather*} \left[\begin{array}{ l } \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x+1\lt 0} & \\ \mathrm{x+2\geq 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x+1\geq 0} & \\ \mathrm{x+2\gt (x+1)^2} & \end{array}\right. & \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{ l } \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x\lt -1} & \\ \mathrm{x\geq -2} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x\geq -1} & \\ \mathrm{x+2\gt x^2+2x+1} & \end{array}\right. & \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{ l } \mathrm{-2\leq x\lt -1} & \\ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x\geq -1} & \\ \mathrm{x^2+x-1\lt 0} & \end{array}\right. & \end{array}\right.\Rightarrow \\ \left[\begin{array}{ l } \mathrm{-2\leq x\lt -1} & \\ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x\geq -1} & \\ \mathrm{x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2},\ \ x_1\lt x\lt x_2} & \end{array}\right. & \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{ l } \mathrm{-2\leq x\lt -1} & \\ \mathrm{-1\leq x\lt\frac{\sqrt{5}-1}{2}} & \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{-2\leq x\lt \frac{\sqrt{5}-1}{2}} \end{gather*}
Решаем нижнее неравенство: \( \mathrm{|y-1|\leq 2\Rightarrow -2\leq y-1\leq 2\Rightarrow -1\leq y\leq 3} \)

Решение: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{-2\leq x \lt \frac{\sqrt{5}-1}{2}} & \\ \mathrm{-1\leq y\leq 3} & \end{array}\right. \) прямоугольник на координатной плоскости.

Сторона CD в множество решений не входит.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений: a) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{\sqrt[3]{x}-\sqrt{y}=1} & \\ \mathrm{x-y=55} & \end{array}\right. \)
Требования ОДЗ: y ≥ 0.
Замена переменных: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=\sqrt[3]{x}} & \\ \mathrm{b=\sqrt{y}\geq 0} & \end{array}\right. \)
Подставляем: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a-b=1} & \\ \mathrm{a^3-b^2=55} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{b=a-1} & \\ \mathrm{a^3-(a-1)^2=55} & \end{array}\right. $$ Решаем нижнее уравнение: \begin{gather*} \mathrm{ a^3-a^2+2a-1-55=0\Rightarrow a^3-a^2+2a-56=0 }\\ \mathrm{ a^3-4a^2+3a^2-12a+14a-56=0 }\\ \mathrm{ a^2(a-4)+3a(a-4)+14(a-4)=0 }\\ \mathrm{ (a-4)(a^2+3a+14)=0 } \end{gather*} Дискриминант второй скобки D = 9 - 56 < 0. Уравнение имеет одно решение: $$ \mathrm{ a=4\Rightarrow b=a-1=3 } $$
Возвращаемся к исходным переменным: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=a^3=4^3=64} & \\ \mathrm{y=b^3=3^2=9} & \end{array}\right. \)

Ответ: (64; 9).

б) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}=37} & \\ \mathrm{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}=12} & \end{array}\right. \)
Требования ОДЗ: x ≥ 0, y ≥ 0.
Кроме того, из первого уравнения: \( \mathrm{x\sqrt{x} \gt y\sqrt{y}\Rightarrow x \gt y} \)
Замена переменных: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=\sqrt{x} \geq 0} & \\ \mathrm{b=\sqrt{y}\geq 0} & \end{array},\right. \) при этом a > b.
Подставляем: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a^3-b^3=37} & \\ \mathrm{a^2b-b^2a=12} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{(a-b)(a^2+ab+b^2)=37} & \\ \mathrm{ab(a-b)=12} & \end{array}\right. $$ Разделим верхнее равенство на нижнее, сократим на (a – b): \begin{gather*} \mathrm{ \frac{a^2+ab+b^2}{ab}=\frac{37}{12}\Rightarrow 12(a^2+ab+b^2)-37ab=0 }\\ \mathrm{ 12a^2-25ab+12b^2=0\ \ |:b^2 }\\ \mathrm{ 12\left(\frac{a}{b}\right)^2-25\left(\frac{a}{b}\right)+12=0 }\\ \mathrm{ D=25^2-4\cdot 12\cdot 12=49=7^2,\ \ \left(\frac{a}{b}\right)=\frac{25\pm 7}{24}=} \left[\begin{array}{ l } \mathrm{\frac12} & \\ \mathrm{\frac43} & \end{array}\right. \end{gather*} Т.к. a > b оставляем решение \( \mathrm{\frac{a}{b}=\frac43\Rightarrow a=\frac43 b.} \)
Подставляем в нижнее уравнение: \begin{gather*} \mathrm{ \frac43 b\cdot b\cdot\left(\frac43 b-b\right)=12\Rightarrow\frac49 b^3=12\Rightarrow b^3=12\cdot \frac94=27\Rightarrow b=3 }\\ a=\frac43 b=4 \end{gather*} Возвращаемся к исходным переменным: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{\sqrt{x}=a=4} & \\ \mathrm{\sqrt{y}=b=3} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=16} & \\ \mathrm{y=9} & \end{array}\right. \)

Ответ: (16; 9).

в) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{\sqrt{2-x}+\sqrt{5-y}=3} & \\ \mathrm{5x+2y-xy=6} & \end{array}\right. \)
Требования ОДЗ: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x\leq 2} & \\ \mathrm{y \leq 5} & \end{array}\right. \)
Замена переменных: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=\sqrt{2-x} \geq 0} & \\ \mathrm{b=\sqrt{5-y}\geq 0} & \end{array},\right. \)
Заметим, что \( \mathrm{a^2b^2=(2-x)(5-y)=10-5x-2y+xy} \)
Тогда нижнее уравнение: \begin{gather*} \mathrm{xy-2y-5x+6=0\Rightarrow xy-2y-5x+10=4\Rightarrow a^2b^2=4\Rightarrow}\\ \mathrm{\Rightarrow (a\geq 0, b\geq 0)ab=2} \end{gather*}
Подставляем: $$ \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{a+b=3} & \\ \mathrm{ab=2} & \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{ l } \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=1} & \\ \mathrm{b=2} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a=2} & \\ \mathrm{b=1} & \end{array}\right. & \end{array}\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: $$ \left[\begin{array}{ l } \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{\sqrt{2-x}=1} & \\ \mathrm{\sqrt{5-y}=2} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{\sqrt{2-x}=2} & \\ \mathrm{\sqrt{5-y}=1} & \end{array}\right. & \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{ l } \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{2-x=1} & \\ \mathrm{5-y=4} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{2-x=4} & \\ \mathrm{5-y=1} & \end{array}\right. & \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{ l } \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=1} & \\ \mathrm{y=1} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=-2} & \\ \mathrm{y=4} & \end{array}\right. & \end{array}\right. $$ Получили два решения.

Ответ: {(1; 1); (–2; 4)}.

Пример 2. Решите систему неравенств и изобразите решение на координатной плоскости: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{3\sqrt[6]{x+3}-\sqrt[3]{x+3}\geq 2} & \\ \mathrm{y\lt x+3} & \end{array}\right. $$ Найдите пару решений с натуральными x и y, для которых сумма x + y минимальна.
Решаем верхнее неравенство.
Замена переменных: \( \mathrm{a=\sqrt[3]{x+3}}. \) Ограничений по ОДЗ нет. Подставляем: \( \mathrm{3a^2-a\geq 2\Rightarrow 3a^2-a-2\geq 0\Rightarrow (3a+1)(a-2)\geq 0\Rightarrow a\leq -\frac13\cup a\geq 2} \)
Возвращаемся к исходной переменной: \begin{gather*} \mathrm{\sqrt[3]{x+3}\leq-\frac13\cup \sqrt[3]{x+3}\geq 2\Rightarrow x+3\leq -\frac{1}{27}\cup x+3\geq 8}\\ \mathrm{x\leq -3\frac{1}{27}\cup x\geq 5\Rightarrow x\in \left(-\infty;\ -3\frac{1}{27}\right]\cup [5;\ +\infty)} \end{gather*} Для второй переменной: y < x + 3

Искомая точка (5; 1), минимальная сумма 5 + 1 = 6.