Геометрическая прогрессия

п.1. Понятие геометрической прогрессии

Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, ... является геометрической прогрессией с b₁ = 1, q = 3.

2. Последовательность \(\mathrm{9,\ -3,\ 1,\ -\frac13,\ \frac19,...}\) является геометрической прогрессией с b₁ = 9, \(\mathrm{q=-\frac13}\).

п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: b_n = b_n-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

Получаем:

Например:
Найдём b₅, если известно, что \(\mathrm{b_1=\frac12, q=2}\).
По формуле n-го члена получаем: \(\mathrm{b_5=b_1q^4=\frac12\cdot 2^4=2^3=8}\)

п.3. Свойства геометрической прогрессии

Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение

Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b₁ > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kqⁿ: $$ \mathrm{ b_n=\frac{b_1}{q}q^n } $$

При b₁ > 0, q > 1 прогрессия экпоненциально растёт

При b₁ > 0, 0 < q < 1 прогрессия экпоненциально падает

Свойство 2. Признак геометрической прогрессии

Например:
Найдём b₉, если известно, что \(\mathrm{b_7=\frac{1}{16},\ \ b_{11}=4}\)
По следствию из признака геометрической прогрессии: \(\mathrm{b_9=\sqrt{b_7b_{11}}=\sqrt{\frac{1}{16}\cdot 4}=\frac12}\)

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Например:
Найдём b₆, если известно, что b₂ = 5, b₄ = 10, b₈ = 40
По равенству сумм индексов b₂b₈ = b₄b₆
Откуда \(\mathrm{b_6=\frac{b_2b_8}{b_4}=\frac{5\cdot 40}{10}=20}\)

п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰
В этом случае b₁ = 2, q = 2, n = 10
Получаем: \(\mathrm{ S_{10}=2\cdot \frac{2^{10}-1}{2-1}=2\cdot (1024-1)=2046}\)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b₅ = 9, b₈ = 243
Найдём отношение $$ \mathrm{ \frac{b_8}{b_5}=\frac{b_1\cdot q^7}{b_1\cdot q^4}=q^3,\ \ \frac{b_8}{b_5}=\frac{243}{9}=27=3^3,\ \ q^3=3^3\Rightarrow q = 3 } $$ Найдём 1-й член: $$ \mathrm{ b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{9}{3^4}=\frac{3^2}{3^4}=\frac{1}{3^2}=\frac19 } $$ Сумма: $$ \mathrm{ S_{10}=b_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=\frac{3^{10}-1}{9\cdot 2}=\frac{29524}{9}=3280\frac49 } $$ Ответ: q = 3, S₁₀ = \(\mathrm{3280\frac49}\)

б) b₁ = 3, b_n = 96, S_n = 189
По формуле суммы: $$ \mathrm{ S_{n}=\frac{b_nq-b_1}{q-1}\Rightarrow 189 =\frac{96q-3}{q-1}\Rightarrow 189(q-1)=96q-3\Rightarrow 93q=186\Rightarrow q = 2 } $$ Сумма: $$ \mathrm{ S_{10}=b_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=3\cdot \frac{2^{10}-1}{2-1}=3\cdot 1023=3069 } $$ Ответ: q = 2, S₁₀ = 3069

Пример 2. Между числами \(\mathrm{40\frac12\ \text{и}\ 5\frac13}\) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию \(\mathrm{b_1=40\frac12,\ \ b_6=5\frac13}\) $$ \mathrm{ \frac{b_6}{b_1}=q^5,\ \ \frac{b_6}{b_1}=5\frac13 : 40\frac12=\frac{16}{3} : \frac{81}{2}=\frac{16}{3} \cdot \frac{2}{81}=\frac{32}{243}=\frac{2^5}{3^5}=\left(\frac23\right)^5 } $$ Знаменатель \(\mathrm{q=\frac23}\)
Находим промежуточные члены прогрессии: \begin{gather*} \mathrm{ b_2=b_1q=40\frac12\cdot\frac23=\frac{81}{2}\cdot \frac23=27,\ \ b_3=b_2q=27\cdot\frac23=18, }\\ \mathrm{ b_4=b_3q=18\cdot\frac23=12,\ \ b_5=b_4q=12\cdot\frac23=8 } \end{gather*} Ответ: 27, 18, 12 и 8

Пример 3. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, если: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{b_4-b_2=0,6} & \\ \mathrm{b_5-b_3=1,2} & \\ \mathrm{S_n=12,7} & \end{array}\right. $$ Заметим, что b₄=b₂q²,   b₅=b₃q². Для первых двух уравнений получаем: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{b_2q^2-b_2=0,6} & \\ \mathrm{b_3q^2-b-3=1,2} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{b_2(q^2-1)=0,6} & \\ \mathrm{b_3(q^2-1)=1,2} & \end{array}\right. $$ Делим второе уравнение на первое: $$ \mathrm{ \frac{b_3(q^2-1)}{b_2(q^2-1)}=\frac{1,2}{0,6}\Rightarrow\frac{b_3}{b_2}=q=2 } $$ Подставляем найденное значение знаменателя прогрессии в первое уравнение: $$ \mathrm{ b_2(2^2-1)=0,6\ \Rightarrow\ b_2=\frac{0,6}{3}=0,2\ \Rightarrow\ b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{0,2}{2}=0,1 } $$ Для третьего уравнения можем записать: \begin{gather*} \mathrm{ S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}=0,1\cdot\frac{2^n-1}{2-1}=\frac{2^n-1}{10}=12,7\ \Rightarrow\ 2^n-1=127\ \Rightarrow }\\ \mathrm{ \Rightarrow\ 2^n=128=2^7\ \Rightarrow\ n=7 } \end{gather*} 7-й член b₇ = b₁q⁶ = 0,1 · 2⁶ = 6,4
Ответ: b₁ = 0,1;   b₇ = 6,4

Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором S_n = 63. $$ \text{По условию}\ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{b_1+b_2=48} & \\ \mathrm{b_3+b_4=12} & \\ \mathrm{S_n=63} & \end{array}\right. $$ Заметим, что b₃ = b₁q²,   b_4=b_2q². Второе уравнение можно переписать в виде: $$ \mathrm{ b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=\underbrace{(b_1+b_2)}_{=48} q^2=12\ \Rightarrow\ q^2=\frac{12}{48}=\frac14\ \Rightarrow\ q=\frac12 } $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ \mathrm{ b_1+b_2=b_1(1+q)=48\ \Rightarrow\ b_1=\frac{48}{1+\frac12}=48\cdot\frac23=32 } $$ Для третьего уравнения можем записать: \begin{gather*} \mathrm{ S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}=b_1\frac{1-q^n}{1-q}=32\cdot\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac12}=64\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=63 }\\ \mathrm{ 64-\frac{64}{2^n}=63\ \Rightarrow\ 1=\frac{2^6}{2^n}\ \Rightarrow\ n=6 } \end{gather*} Ответ: 6

Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти

Ответ: 4,7 · 10²¹ бактерий