Дробно-рациональные неравенства

Соответствие между решениями целых рациональных неравенств и дробно-рациональных неравенств

Для решения целых рациональных неравенств следует раскладывать соответствующие многочлены на линейные множители, и затем использовать метод интервалов (см. §7 данного справочника).

Дробно-рациональное выражение можно представить в виде частного двух многочленов $(P_n (x))/(Q_m (x))$, каждый из которых также можно раскладывать на линейные множители, знак которых будет влиять на общий знак частного.

Поэтому для решения дробно-рациональных неравенств применяются те же алгоритмы, что и для решения целых рациональных неравенств. Некоторые отличия возникают только в «цвете» точек на числовой прямой (о «цвете» точек, см. §7 данного справочника).

Например:

Решим уравнение $ \frac{x-3}{x+2} \ge 0 $

Точка 3 будет «чёрной» на числовой прямой, а точка (-2) - «белой». Определение знаков полученных промежутков проводится так, как описано в §7 данного справочника.

По условию дробь неотрицательная,$ \ge 0$. Выбираем промежутки, помеченные «+», учитываем цвет точек за счёт круглых и квадратных скобок:

$ x \in (-\infty;-2) \cup [3;+\infty)$

Примеры

Пример 1. Решите неравенства:

а) $$ \frac{x^3+4x^2-9x-36}{x^2+3x+2} \gt 0 $$

Раскладываем числитель и знаменатель на множители:

$$ \frac{x^2 (x+4)-9(x+4)}{(x+1)(x+2)} \gt 0 \Rightarrow \frac{(x^2-9)(x+4)}{(x+1)(x+2)} \gt 0 \Rightarrow \frac{(x-3)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+2)} \gt 0 $$

Выносим все корни из скобок на числовую прямую (все точки «белые»), определяем знаки промежутков:

Выбираем промежутки с «+».

$x \in (-4;-3) \cup (-2;-1) \cup (3;+ \infty) $

б) $$ \frac{x+1}{x-1}- \frac{x-1}{x} \ge -2$$

Переносим всё в одну сторону, приводим к общему знаменателю:

$$ \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x} +2 \ge 0 \Rightarrow \frac{x(x+1)-(x-1)^2+2x(x-1)}{x(x-1)} \ge 0 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \frac{x^2+x-x^2+2x-1+2x^2-2x}{x(x-1)} \ge 0 \Rightarrow \frac{2x^2+x-1}{x(x-1)} \ge 0 $$

Раскладываем числитель на множители:

$$ \frac{(2x-1)(x+1)}{x(x-1)} \ge 0 \Rightarrow \frac{2(x- \frac{1}{2})(x+1)}{x(x-1)} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x-\frac{1}{2})(x+1)}{x(x-1)} \ge 0 $$

Выносим все корни из скобок на числовую прямую (корни числителя - «чёрные», корни знаменателя - «белые»), определяем знаки промежутков:

Выбираем промежутки с «+».

$x \in (-\infty;-1] \cup (0; \frac{1}{2}] \cup (1;+\infty) $

Пример 2. Решите неравенства: $(x^3-8)(2x+7) \ge 0 и \frac{x^3-8}{2x+7} \ge 0$

Сравните решения, сделайте выводы.

Решаем $(x^3-8)(2x+7) \ge 0$

$ 2(x-2)(x^2+2x+4)(x+3,5) \ge 0$

Скобка $(x^2+2x+4)$ больше не раскладывается, всегда положительна, на знак не влияет. Сокращаем, получаем:

$ (x-2)(x+3,5) \ge 0 $

$ x \in (- \infty;-3,5] \cup [2;+ \infty) $

Решаем $ \frac{x^3-8}{2x+7} \ge 0$

После аналогичных преобразований получаем: $ \frac{x-2}{x+3,5} \ge 0$

$x \in (- \infty;-3,5) \cup [2;+ \infty ) $

По сравнению с целым выражением, для дроби точка x = -3,5 не входит во множество решений, т.к. знаменатель не может быть равен 0.

Пример 3. Решите неравенство: $ \frac{x^2-x}{x^2-x+1}- \frac{x^2-x+2}{x^2-x-2} \lt 1 $

Замена переменных: $ {\left\{ \begin{array}{c} z = x^2-x \\ \frac{z}{z+1} - \frac{z+2}{z-2} \lt 1 \end{array} \right.} $

Решаем неравенство:

$$ \frac{z}{z+1} - \frac{z+2}{z-2} -1 \lt 0 \Rightarrow \frac{z(z-1)-(z+1)(z+2)-(z+1)(z-2)}{(z+1)(z-2)} \lt 0 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \frac{z^2-z-(z^2+3z+2)-(z^2-z-2)}{(z+1)(z-2)} \lt 0 \Rightarrow \frac{-z^2-3z}{(z+1)(z-2)} \lt 0 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \frac{-z(z+3)}{(z+1)(z-2)} \lt 0 \Rightarrow \frac{z(z+3)}{(z+1)(z-2)} \gt 0 $$

$z \in (-\infty;-3] \cup (-1;0] \cup (2;+\infty) или z \le -3 \cup -1 \lt z \le 0 \cup z \gt 2$

Возвращаемся к исходной переменной:

$z = x^2-x$

Построим график $f(x) = x^2-x = x(x-1)$.

Это – парабола ветками вверх. Точки пересечения с осью OX:(0;0)и (1;0)

Ось симметрии:$ x_0 = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$

Вершина: $f(x_0 ) = f \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}- \frac{1}{2} =- \frac{1}{4}$

В этой же системе координат строим уровни:

y = -3, y = -1, y = 0, y = 2

и отмечаем области:

$y \le -3,-1 \lt y \le 0, y \gt 2$

Записываем решение – те x, для которых точки параболы попадают в заштрихованные области:

$x \lt -1 \cup 0 \le x \le 1 \cup x \gt 2 $

Ответ: $x \in (-\infty;-1) \cup [0;1] \cup (2;+\infty)$