Доказательство неравенств

п.1. Понятие доказательства неравенств

Например:

1. Доказать, что x⁴-5x²>16x-75
x⁴-5x²-16x+75>0
Выделяем полные квадраты:
x⁴-6x²+x²-16x+75>0
(x⁴-6x²+9)+(x²-16x+64)+2>0
(x²-3)²+(x-8)²+2>0
Т.к. (x²-3)²≥0 и (x-8)²≥0, последнее неравенство выполняется для любого значения x.
Что и требовалось доказать.

2. Доказать, что \(\mathrm{\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}}\) для всех неотрицательных x≥0, y≥0.
Сумма слева положительная, можем возводить в квадрат левую и правую части:
\( \mathrm{ \frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy} } \)
x²+2xy+y²≥4xy
x²-2xy+y²≥0
(x-y)²≥0, что всегда выполняется.
Неравенство для x≥0, y≥0 доказано.

п.2. Примеры

Пример 1. Докажите неравенство:
а) x⁴+7x²>10x-33
x⁴+7x²-10x+33>0
Выделяем полные квадраты:
x⁴+6x²+x²-10x+33>0
(x⁴+6x²+9)+(x²-10x+25)+(33-6-25)>0
(x²+3)²+(x-5)²+2>0
Т.к. (x²+3)²≥0 и (x-5)²≥0, последнее неравенство выполняется для любого значения x.
Что и требовалось доказать.

б) x⁴-6x³+13x²-12x+4≥0
x⁴-x³-5x³+5x²+8x²-8x-4x+4≥0
x³ (x-1)-5x² (x-1)+8x(x-1)-4(x-1)≥0
(x-1)(x³-5x²+8x-4)≥0
(x-1)(x³-x²-4x²+4x+4x-4)≥0
(x-1)(x² (x-1)-4x(x-1)+4(x-1))≥0
(x-1)² (x²-4x+4)≥0
(x-1)² (x-2)²≥0 - выполняется для любого значения x.
Что и требовалось доказать.

Пример 2. Докажите, что для всех положительных x>0 выполняется неравенство:
а) x⁴-8x²+5x+22>0
Выделим полный квадрат:
(x⁴-8x²+16)+5x+6>0
(x²-4)²+5x+6>0 – все слагаемые при x>0 положительные, неравенство выполняется.
Что и требовалось доказать.

б) x⁴-2x²+7x+1>0
Выделим полный квадрат:
(x⁴-2x²+1)+7x>0
(x²-1)²+7x>0 – все слагаемые при x>0 положительные, неравенство выполняется.
Что и требовалось доказать.

Пример 3*. Докажите, что при a>0, b>0 выполняется неравенство:
$$ \mathrm{ \frac{a+b}{1+a+b}\lt\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} } $$ Перепишем в виде: $$ \mathrm{ \frac{a+b}{1+a+b}-\frac{a}{1+a}\lt\frac{b}{1+b} } $$ Выражение слева: \begin{gather*} \mathrm{ \frac{a+b}{1+a+b}-\frac{a}{1+a}=\frac{(a+b)(1+a)-a(1+a+b)}{(1+a+b)(1+a)}=}\\ \mathrm{=\frac{a+b+a^2+ab-a-a^2-ab}{(1+a+b)(1+a)}=\frac{b}{(1+a+b)(1+a)} } \end{gather*} Получаем: $$ \mathrm{ \frac{b}{(1+a+b)(1+a)}\lt\frac{b}{1+b} } $$ Т.к. дроби положительные, для знаменателей справедливо: \begin{gather*} \mathrm{ (1+a+b)(1+a)\gt 1+b}\\ \mathrm{1+a+b+a+a^2+ab\gt 1+b}\\ \mathrm{2a+a^2+ab\gt 0 } \end{gather*} Каждое из слагаемых при a>0, b>0 положительно, значит, вся сумма положительна, неравенство выполняется.
Что и требовалось доказать.