Числовая последовательность

п.1. Формулы числовых последовательностей

Запишем несколько первых чётных чисел и пронумеруем их:

Этот ряд бесконечен, но, глядя на таблицу, его легко задать формулой: \begin{gather*} \mathrm{y_n = 2n,\ \ n \in \mathbb{N}} \end{gather*}

Теперь, пользуясь формулой, для любого порядкового номера n мы сможем найти соответствующее чётное число.

Для обозначения членов последовательности и их индексов можно использовать разные буквы: x₁, x₂, ..., x_m,...; a₁, a₂, ..., a_k,...; A₁, A₂, ..., A_s,... и т.д.

Например:
Найти 1й, 3й и 4й члены последовательности, заданной формулой \(\mathrm{y_n=\frac{n-1}{n+1}}\) $$ \mathrm{ y_1=\frac{1-1}{1+1}=0,\ \ y_3=\frac{3-1}{3+1}=\frac12,\ \ y_4=\frac{4-1}{4+1}=\frac35 } $$

п.2. Задание последовательностей описанием

Последовательность, заданную формулой y_n=2n, можно задать описанием как «последовательность чётных чисел».

Последовательность, заданную формулой \(\mathrm{y_n=\frac{n-1}{n+1}}\), можно задать описанием как «последовательность дробей, числитель которых на 1 меньше индекса, а знаменатель на 1 больше индекса последовательности».

Кроме того, существуют такие последовательности, которые можно задать только описанием.

Например:
1. Последовательность простых чисел:

2. Последовательность десятичных приближений числа \(\mathrm{\sqrt{3}}\) по недостатку:

п.3. Рекуррентные формулы числовых последовательностей

Важнейшим классом числовых последовательностей, которые широко используются в алгоритмах вычислительной математики, являются рекуррентные отношения (от латинского слова recurrere – возвращаться).

Например:
Найти y₅, если y₁ = 1, y_n = 2y_n-1 + 1
Проводим последовательные вычисления:
y₂ = 2y₁ + 1 = 3, y₃ = 2y₂ + 1 = 7, y₄ = 2y₃ + 1 = 15, y₅ = 2y₄ + 1 = 31
Интересно, что, если присмотреться, эту последовательность можно также задать аналитически: y_n = 2ⁿ – 1.

п.4. Свойства числовых последовательностей

Например:
Последовательность квадратов натуральных чисел y_n = n² возрастающая:

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm{y_n=\frac1n}\) – убывающая: $$ 1\gt\frac12\gt\frac13\gt...\gt\frac1n\gt... $$

Например:
Последовательность отрицательных дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm{y_n=-\frac1n}\) ограничена сверху числом M = 0: $$ -1\lt 0,\ \ -\frac12\lt 0,\ \ -\frac13\lt 0,..,\ \ -\frac1n\lt 0, ... $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm{y_n=\frac1n}\) ограничена снизу числом M = 0: $$ -1\gt 0,\ \ \frac12\gt 0,\ \ \frac13\gt 0,..,\ \ \frac1n\gt 0, ... $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm{y_n=\frac1n}\) ограничена: $$ 1\gt \frac12\gt \frac13\gt ... \gt \frac1n\gt ... \gt 0 $$ Верхней границей является M = 1, нижней границей K = 0.

Например:
Последовательность \(\mathrm{y_1=1,\ y_n=y^2_{n-1} - 4y_{n-1}+4}\) стационарна, т.к. \begin{gather*} \mathrm{ y_2=1-4+4=1,\ \ y_3=1-4+4=1,...}\\ \mathrm{ y_n=1,\ \ \forall n\in \mathbb{N}} \end{gather*}

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной формулой
a) \(\mathrm{y_n=\frac{n^2+1}{2n-1}}\)

б) \(\mathrm{y_n=\frac{2^n}{n^2}}\)

Пример 2. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой
a) y₁ = 3, y_n = 3y_n – 1

б) y₁ = 1, y₂ = 2, y_n = 2y_n-1 + y_n-2

Пример 3*. Укажите какую-либо формулу для n-го члена числовой последовательности

а) 3, 5, 7, 9, ...
Это – последовательность нечётных чисел, для которой:
y_n = 2n + 1

б) 5, -5, 5, -5,...
Это – знакопеременная последовательность, для которой модуль всегда равен 5, а знак меняется. Изменение знака можно записать как степень (–1). Учитывая, что нечётные члены последовательности положительные, а чётные – отрицательные, получаем:
y_n = (–1)ⁿ⁺¹ · 5

в) \(\mathrm{\frac{1}{1\cdot 2},\ \ \frac{1}{2\cdot 3},\ \ \frac{1}{3\cdot 4},...}\)
Это – последовательность дробей, у которых в знаменателе произведение текущего индекса n на следующий индекс (n + 1):
\(\mathrm{y_n=\frac{1}{n(n+1)}}\)

г) 2, 5, 10, 17, 26, 37, ...
Заметим, что

Каждый последующий член отличается от предыдущего на возрастающее нечётное число. Можем записать рекуррентную формулу:
y₁ = 2, y_n = y_n-1 + (2n –1)

Пример 4*. Пифагор изучал последовательность «треугольных» чисел, которые можно задать следующими геометрическими фигурами:

и т.д.
Задайте эту последовательность 1) рекуррентной формулой; 2) аналитической формулой.

1) Запишем последовательность в явном виде, как это следует из чертежа: $$ \mathrm{ y_1=1,\ \ y_2=\underbrace{1}_{y_1}+2=3,\ \ y_3=\underbrace{1+2}_{y_2}+3=6,\ \ y_4=\underbrace{1+2+3}_{y_3}+4=10 } $$ Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу: y₁ = 1, y_n = y_n-1 + n

2) Для произвольного члена последовательности:

Найдём эту сумму. Для этого запишем выражение наоборот:

И найдём сумму: \begin{gather*} \mathrm{ y_n+y_n=2y_n=(1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n)+ }\\ \mathrm{ +(n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1)= }\\ \mathrm{ =(1+n)+\underbrace{(2+n-1)}_{=n+1}+ \underbrace{3+n-2}_{=n+1}+...+\underbrace{n-2+3}_{=n+1}+\underbrace{n-1+2}_{=n+1}+(n+1)= }\\ \mathrm{ =n(n+1) } \end{gather*} Получаем: \(\mathrm{2y_n=n(n+1)\Rightarrow y_n=\frac{n(n+1)}{2}}\) – искомая аналитическая формула.
Ответ: 1) y₁ = 1, y_n = y_n-1 + 2; 2) \(\mathrm{y_n=\frac{n(n+1)}{2}}\)