Арифметический корень n-й степени
Арифметический корень натуральной степени
Арифметическим корнем натуральной степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a \ge 0$ называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
Поиск корня n-й степени называют извлечением корня n-й степени.
Эта операция является обратной возведению в n-ю степень.
Например:
$ \sqrt[3]{27} = 3, т.к. 3^3 = 27 $
$ \sqrt[4]{625} = 5, т.к. 5^4 = 625 $
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Если степень n нечётная, то корнем нечётной степени n из отрицательного числа $a \lt 0$ называют такое отрицательное число, n-я степень которого равна a.
Например:
$ \sqrt[3]{-27} = -3, т.к. (-3)^3 = -27 $
$ \sqrt[5]{-32} = -2, т.к. (-2)^5 = -32 $
Решение уравнений $x^n = a$
Решим уравнения:
$$ x^2 = 16 \iff x^2-16 = 0 \iff (x+4)(x-4) = 0 \iff \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -4 \\ x_2 = 4 \end{array} \right. $$
$$ x^2 = -9 \lt 0 \iff x \in \varnothing, решений \quad нет$$
$$ x^4 = 81 \iff x^4-81 = 0 \iff (x^2+9)(x^2-9) = 0 \iff $$
$$ \iff (x^2+9)(x+3)(x-3) = 0 \iff \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -3 \\ x_2 = 3 \end{array} \right. $$
$$ x^3 = 27 \iff x^3-27 = 0 \iff (x-3)(x^2+3x+9) = 0 \iff x = 3 $$
$$ x^3 = -27 \iff x^3+27 = 0 \iff (x+3)(x^2-3x+9) = 0 \iff x = -3 $$
Делаем вывод:
Если n – чётно и $a \ge 0$, уравнение $x^n = a$ имеет два решения: $x = \pm \sqrt[n]{a}$
Если n – чётно и $a \lt 0$, уравнение $x^n = a$ решений не имеет.
Если n - нечётно, уравнение $x^n = a$ имеет одно решение $x = \sqrt[n]{a}$ при любом $a \in \Bbb R$.
Свойства арифметических корней натуральной степени
$$ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \quad a \ge 0, b \ge 0, n \in \Bbb N $$
$$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \quad a \ge 0, b \gt 0, n \in \Bbb N $$
$$ \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m, \quad a \ge 0, n \in \Bbb N, m \in \Bbb N $$
$$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}, \quad a \ge 0, n \in \Bbb N, m \in \Bbb N, p \in \Bbb N $$
$$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}, \quad a \ge 0, n \in \Bbb N, m \in \Bbb N $$
$$ \sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a, \quad a \ge 0, n \in \Bbb N $$
Примеры
Пример 1. Упростите выражение:
$ а) \sqrt[3]{64b^6 z^9} = \sqrt[3]{(4b^2 z^3)^3} = 4b^2 z^3 $
$ б) \sqrt[4]{3a^2 b} \cdot \sqrt[4]{27a^6 b^3} = \sqrt[4]{3a^2 b \cdot 27a^6 b^3} = \sqrt[4]{81a^8 b^4} = \sqrt[4]{(3a^2 b)^4} = 3a^2 b $
$ в) \sqrt[5]{32x^6 y} : \sqrt[5]{xy^{11}} = \sqrt[5]{\frac{32x^6 y}{xy^11}} = \sqrt[5]{(\frac{32x^5}{y^{10}})} = \sqrt[5]{(\frac{2x}{y^2})^5} = \frac{2x}{y^2} $
$ г) (\sqrt{\sqrt[3]{7a^2 b^5}})^6 = (\sqrt[2 \cdot 3]{7a^2 b^5})^6 = 7a^2 b^5 $
Пример 2. Вычислите:
$ а) \sqrt[3]{1 \frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{2 \frac{7}{9}} = \sqrt[3]{\frac{5}{3} \cdot \frac{25}{9}} = \sqrt[3]{( \frac{5}{3} )^3} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} $
$ б) \sqrt[5]{64} : \sqrt[5]{2} + \sqrt[6]{27^2} - \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[5]{\frac{64}{2}} + \sqrt[6]{(3^3 )^2} - \sqrt[{3 \cdot 2}]{64} = \sqrt[5]{2^5} + \sqrt[6]{3^6} - \sqrt[6]{2^6} = $
= 2+3-2 = 3
$ в) \sqrt[3]{13- \sqrt{44}} \cdot \sqrt[3]{13 + \sqrt{44}} = \sqrt[3]{(13- \sqrt{44})(13+ \sqrt{44})} = \sqrt[3]{13^2-44} = \sqrt[3]{125} = 5 $
$ г) (\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{25}) = (\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{5})((\sqrt[3]{7})^2 + \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2 ) = $
$ = (\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{5})^3 = 7-5 = 2 $
Пример 3. Сравните числа:
$ а) \sqrt[3]{14} и \sqrt[3]{17} $
$ 14 \lt 17 \Rightarrow \sqrt[3]{14} \lt \sqrt[3]{17} $
$ б) \sqrt[3]{-14} и \sqrt[3]{-17} $
$ -14 \gt -17 \Rightarrow \sqrt[3]{-14} \gt \sqrt[3]{-17} $
$ в) \sqrt[3]{-14} и \sqrt{5} $
$ \sqrt[3]{-14} \lt 0 \lt \sqrt{5} \Rightarrow \sqrt[3]{-14} \lt \sqrt{5} $
$ г) \sqrt[3]{29} и \sqrt[4]{78} $
$ \sqrt[3]{29} \gt \sqrt[3]{27} = 3, \sqrt[4]{78} \lt \sqrt[4]{81} = 3 $
$ \sqrt[4]{78} \lt 3 \lt \sqrt[3]{29} \Rightarrow \sqrt[3]{29} \gt \sqrt[4]{78} $
Пример 4. Найдите область определения функции:
$ а) y = - \sqrt[4]{\frac{x+3}{x-1}} $
Выражение под чётным корнем должно быть неотрицательным:
$ \frac{x+3}{x-1} \ge 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \ge 0 \\ x-1 \gt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \le 0 \\ x -1 \lt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x ≥ -3 \\ x \gt 1 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \le -3 \\ x \lt 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x \gt 1 \\ x \le -3 \end{array} \right. \Rightarrow x \le -3 \cup x \gt 1 $
Область определения: $x \in (-\infty;-3] \cup (1;+\infty)$
$ б) y = \frac{2}{x+3} - \sqrt[5]{\frac{x}{x-8}} $
Выражение под нечётным корнем может иметь любой знак.
Ограничения области определения связаны только с делением на 0:
$ {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \neq 0 \\ x-8 \neq 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x \neq -3 \\ x \neq 8 \end{array} \right.} $
Область определения: $x \in (-\infty;-3) \cup (-3;8) \cup (8;+\infty)$
Пример 5. Решите уравнение:
$а) x^5=32$
$ x = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 $
$б) x^6 = 64$
$ x = \pm \sqrt[6]{64} = \pm \sqrt[6]{2^6} = \pm 2 $
$ в) x^3 = -27 $
$ x = \sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3 $
$ г) x^4 = -81 $
$ x \in \varnothing$ - решений нет
Пример 6*. Найдите значение выражения $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} +\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$
Обозначим $A = \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} +\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$
Найдём:
$$ A^3 = \Biggl( \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} +\sqrt[3]{9-\sqrt{80}} \Biggr)^3= $$
$$ = \Biggl( \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} \Biggr)^3+3 \Biggl(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} \Biggr)^2 \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} +3 \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} \Biggl( \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} \Biggr)^2+ \Biggl( \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} \Biggr)^3= $$
$$ = 9+\sqrt{80}+9-\sqrt{80}+3\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})} \Biggl( \underbrace{\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} +\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}}_{= A} \Biggr) = $$
$$ = 18+3 \underbrace{\sqrt[3]{9^2-80}}_{= 1} \cdot A = 18+3A = 3(A+6) $$
Мы получили уравнение: $A^3 = 3(A+6)$ или $ \frac{A^3}{3} = A+6$. Решим его графически:
A = 3 - искомое значение выражения
Ответ: 3
