Арифметическая прогрессия

п.1. Понятие арифметической прогрессии

Например:
1. Последовательность 2, 5, 8, 11, 14, ... является арифметической прогрессией с разностью d = 3.

2. Последовательность 12, 9, 6, 3, 0, –3, –6, ... является арифметической прогрессией с разностью d = –3.

п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: a_n = a_n-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

Получаем:

Например:
Найдём a₇, если известно, что a₁ = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a₇ = a₁ + 6d = 5 + 6 · 3 = 23

п.3. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Линейность

Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:

a_n = dn + (a₁ – d)

с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a₁ – d.

При d > 0 прогрессия линейно возрастает

При d < 0 прогрессия линейно убывает

Следствие: любую арифметическую прогрессию можно задать формулой: $$ \mathrm{ a_n=dn+b,\ \ n\in\mathbb{N},\ \ b\in\mathbb{R},\ \ d\in\mathbb{R}} $$ где d, b – некоторые числа.

Свойство 2. Признак арифметической прогрессии

Например:
Найдём a₉, если известно, что a₇ = 10, a₁₁ = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии: \(\mathrm{a_9=\frac{a_7+a_{11}}{2}=\frac{10+15}{2}=12,5}\)

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Например:
Найдём a₆, если известно, что a₂ = 5, a₄ = 10, a₈ = 20
По равенству сумм индексов a₂ + a₈ = a₄ + a₆
Откуда a₆ = a₂ + a₈ – a₄ = 5 + 20 – 10 = 15

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +...+ 100
В этом случае a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100
\(\mathrm{ S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot 100=5050}\)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:
а) a₇ = 10, a₁₅ = 42
Найдем разность данных членов: a₁₅ – a₇ = (a₁ + 14d) – (a₁ + 6d) = 8d
Получаем разность прогрессии: 42 – 10 = 8d ⇒ d = 32 : 8 = 4
7-й член: a₇ = a₁ + 6d = a₁ + 6 · 4 = 10 ⇒ a₁ = 10 – 24 = –14
Ответ: a₁ = –14, d = 4

б) a₁₀ = 95, S₁₀ = 500
Сумма прогрессии: \(\mathrm{S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10\Rightarrow 500=(a_1+95)\cdot 5\Rightarrow a_1+95=100\Rightarrow a_1=5}\)
10-й член: \(\mathrm{a_{10}=a_1+9d\Rightarrow95=5+9d\Rightarrow 9d=90\Rightarrow d=10}\)
Ответ: a₁ = 5, d = 10

Пример 2. Найдите сумму первых 100 нечётных натуральных чисел.
Чему равно последнее слагаемое этой суммы?
Ищем сумму \(\mathrm{\underbrace{1+3+5+...}_{100\ \text{слагаемых}}}\)
По условию a₁ = 1, d = 2, n = 100. Получаем:
\(\mathrm{S_{100}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{2\cdot 1+2\cdot 99}{2}\cdot 100=10000}\)
Формула n-го члена данной прогрессии: \(\mathrm{a_n=a_1+d(n-1)=dn+(a_1-d)=2n-1}\)
100-й член \(\mathrm{a_{100}=2\cdot 100-1=199}\)
Ответ: S₁₀₀ = 10000, a₁₀₀ = 199

Пример 3*. Сколько членов арифметической прогрессии 10, 16, 22, ... находится между числами 110 и 345?
По условию a₁ = 10, d = 16 – 10 = 6
Формула n-го члена данной прогрессии a_n = a₁ + d(n – 1) = dn + (a₁ – d) = 6n + 4
Заданные числа могут быть членами данной прогрессии или находиться по «соседству» с ними. Подставим их в формулу для n-го члена: \begin{gather*} \mathrm{ 6k+4=110\Rightarrow 6k=106\Rightarrow k=17\frac23\Rightarrow 17\lt k\lt 18 }\\ \mathrm{ 6m+4=345\Rightarrow 6m=341\Rightarrow m=56\frac56\Rightarrow 56\lt m\lt 57 } \end{gather*} Ближайший сосед справа к 100 – это a₁₈ = 6 · 18 + 4 = 112, k = 18
Ближайший сосед слева к 345 – это a₅₆ = 6 · 56 + 4 = 340, m = 56

Количество членов прогрессии в заданном интервале:

Ответ: 39

Пример 4. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 7.
Найдите сумму её первых 21 членов.
По свойству суммы индексов: a₁₁ + a₁₁ = a₁ + a₂₁
Откуда a₁ + a₂₁ = 2a₁₁ = 14
Искомая сумма: \(\mathrm{S_{21}=\frac{a_1+a_{21}}{2}\cdot 21=\frac{14}{2}\cdot 21=147}\)
Ответ: 147

Пример 5. Величины углов выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии.
Сумма углов выпуклого пятиугольника S₅ = 180° · (5 – 2) = 540°
Если углы образуют арифметическую прогрессию, то: $$ \mathrm{ S_5=\frac{a_1+a_5}{2}\cdot 5=540^\circ\Rightarrow a_1+a_5=216^\circ } $$ По свойству суммы индексов: a₃ + a₃ = a₁ + a₅
Откуда: \(\mathrm{a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=108^\circ}\)
Ответ: 108°

Пример 6. При каких значениях x числа x² – 11, 2x² + 29, x⁴ – 139 в заданной последовательности являются членами арифметической прогрессии?
Для последовательных членов получаем уравнение:

Ответ: x = ±4

Пример 7. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член прогрессии.
По условию d < 0 и: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a_1+a_2+a_3=9} & \\ \mathrm{a_1^2+a_2^2+a_3^2=99} & \end{array}\right. $$ Используем свойство прогрессии: \(\mathrm{a_2=\frac{a_1+a_3}{2}}\). Получаем из первого уравнения:

Тогда a₁ = a₂ – d = 3 – d, a₃ = a₂ + d = 3 + d. Подставляем во второе уравнение:

Выбираем отрицательное значение d = –6
1-й член прогрессии: a₁ = a₂ – d = 3 + 6 = 9
7-й член прогрессии: a₇ = a₁ + 6d = 9 + 6(–6) = –27
Ответ: x = –27