Умножение и деление алгебраических дробей
Правило умножения алгебраических дробей
Числитель произведения дробей равен произведению их числителей, знаменатель произведения дробей равен произведению их знаменателей:
$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, b \neq 0, d \neq 0 $$
Например:
$$ \frac{x+1}{x-5} \cdot \frac{x-5}{x+7} = \frac{(x+1)(x-3)}{(x-5)(x+7)} = \frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-35} $$
Правило деления алгебраических дробей
Частное двух алгебраических дробей равно произведению первой дроби на дробь, обратную второй дроби:
$$ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}, b \neq 0, c \neq 0, d \neq 0 $$
Например:
$$ \frac{a-3}{a+1} : \frac{a+2}{a+4} = \frac{a-3}{a+1} \cdot \frac{a+4}{a+2} = \frac{(a-3)(a+4)}{(a+1)(a+2)} = \frac{a^2+a-12}{a^2+3a+2} $$
Внимание!
Перед делением и умножением алгебраических дробей раскладывайте их на множители. Если дроби можно сократить, это избавит вас от лишних действий, сэкономит время и снизит риск ошибок.
Например:
$$ \frac{y^2-16}{(x+2)^2} \cdot \frac{x^2 y+2xy}{y^2+4y} = \frac{(y-4)(y+4)}{(x+2)^2} \cdot \frac{xy(x+2)}{y(y+4)} = \frac{x(y-4)}{x+2} $$
Примеры
Пример 1. Выполните умножение алгебраических дробей:
$а) \frac{49x^3}{15y} \cdot \frac{25y^2}{28x^2 y} = \frac{7x}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{35x}{12}$
$ б) -\frac{3a^2 b^4}{5xy} \cdot \frac{10x^2 y^2}{9a^3 b^3} = - \frac{b}{1} \cdot \frac{2xy}{3a} = -\frac{2bxy}{3a} $
$ в) \frac{1-y}{k^2} \cdot \frac{3k^3}{y^2-1} = -\frac{y-1}{1} \cdot \frac{3k}{(y-1)(y+1)} = -\frac{3k}{y+1} $
$ г) \frac{a-1}{a^2+2a+1} \cdot \frac{(a+1)^3}{a^2-1} = \frac{a-1}{(a+1)^2} \cdot \frac{(a+1)^3}{(a-1)(a+1)} = 1$
$ д) \frac{3a^2+6ax+3x^2}{2a^2-4ax+2x^2} \cdot \frac{(a-x)^2}{(a+x)^2} = \frac{3(a^2+2ax+x^2 )}{2(a^2-2ax+x^2 )} \cdot \frac{a^2-2ax+x^2}{a^2+2ax+x^2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $
$ е) \frac{a^2-9b^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{4a+12b} = \frac{(a+3b)(a-3b)}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x+y}{4(a+3b)} = \frac{a-3b}{4(x-y)} $
Пример 2. Выполните деление алгебраических дробей:
$ а) \frac{12a^2}{a^2-b^2} : \frac{3a}{a+b} = \frac{12a^2}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{3a} = \frac{4a}{a-b} $
$ б) \frac{x^2-25}{4x+12} : \frac{x+5}{3x+9} = \frac{(x-5)(x+5)}{4(x+3)} \cdot \frac{3(x+3)}{x+5} = \frac{3(x-5)}{4} $
$ в) \frac{5a+15b}{a^2-6ab+9b^2} : \frac{12b+4a}{(a-3b)^2} = \frac{5(a+3b)}{a^2-6ab+9b^2} \cdot \frac{a^2-6ab+9b^2}{4(3b+a)} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} $
$ г) \frac{7-b}{b^2+14b+49} : \frac{b^2-49}{(b+7)^3} = - \frac{b-7}{(b+7)^2} \cdot \frac{(b+7)^3}{(b-7)(b+7)} = -1 $
Пример 3. Выразите x из данных уравнений $(a \neq \pm b)$:
$ а) \frac{x-1}{a+b} = \frac{a}{a^2-b^2} \Rightarrow x-1 = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} \Rightarrow x-1 = \frac{a}{a-b} \Rightarrow x= \frac{a}{a-b} +1 $
$ б) \frac{2x-5}{a^2+2ab+b^2} = \frac{b}{a+b} \Rightarrow 2x-5 = \frac{b(a+b)^2}{a+b} \Rightarrow 2x-5 = b(a+b) \Rightarrow x = \frac{1}{2} (b(a+b)+5) $
