Взаимное расположение графиков квадратных трёхчленов
Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат
В §28 данного справочника мы показали, что квадратный трёхчлен можно представить в виде:
$$ ax^2+bx+c = a(x+ \frac{b}{2a})^2-\frac{D}{4a}, D = b^2-4ac $$
Мы получаем:
- ось симметрии $x = -\frac{b}{2a}$
- вершину параболы на оси симметрии $(–\frac{b}{2a}; -\frac{D}{4a})$
- точку пересечения (0;c) с осью OY
Любая парабола $y = ax^2+bx+c, a ≠ 0$ пересекается с осью OY в единственной точке (0;c).
Количество точек пересечения параболы $y = ax^2+bx+c$ с осью OX зависит от знака дискриминанта.
Если $D \gt 0$, парабола имеет две точки пересечения с $x_1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ на оси OX.
Если D = 0, парабола имеет одну точку пересечения $x_0 = -\frac{b}{2a}$, которая лежит на оси OX и является вершиной параболы.
Если $D \lt 0$ у параболы нет ни одной точки пересечения с осью OX.
Точки пересечения параболы с осью OX
|
$a \gt 0$ |
$a \lt 0$ |
|
|
$D \gt 0$ |
 |
 |
|
$x_(1,2) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ |
||
|
D = 0 |
 |
 |
|
$x_0 = -\frac{b}{2a}$ |
||
|
$ D \lt 0 $ |
 |
 |
|
$\{ \varnothing \}$-нет пересечений |
||
Точки пересечения двух парабол
На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.
Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, \quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
В точках пересечения выполняется равенство:
$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$
Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:
$$ Ax^2+Bx+C = 0 $$
Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).
A = B = C = 0
$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $
$ c_1 = c_2 $
Две параболы совпадают
Бесконечное множество общих точек, $x \in \Bbb R$
$A = B = 0, C \neq 0$
$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $
$ c_1 \neq c_2 $
Параболы имеют вид
$y = ax^2+bx+c_1$
$ y = ax^2+bx+c_2 $
У них общая ось симметрии
$ x = -\frac{b}{2a}$, одна парабола находится над другой.
Ветки сходятся только на бесконечности.
Точек пересечения нет
$A = 0, B \neq 0, C = 0$
$ a_1 = a_2, b_1 \neq b_2 $
$ c_1 = c_2 $
Параболы имеют вид
$y = ax^2+b_1 x+c$
$ y = ax^2+b_2 x+c $
Обе проходят через точку (0;c).
Это – единственная точка пересечения.
Одна точка пересечения
(0;c)
$A = 0, B \neq 0, C \neq 0$
$ a_1 = a_2, b_1 \neq b_2 $
$ c_1 \neq c_2 $
Параболы имеют вид
$y = ax^2+b_1 x+c_1$
$ y = ax^2+b_2 x+c_2 $
Абсцисса точки пересечения
$ x = - \frac{C}{B} = -\frac{c_1-c_2}{b_1-b_2}$
Одна точка пересечения (касание)
$A \neq 0, B = 0, C = 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 = b_2 $
$ c_1 = c_2 $
Параболы имеют вид
$ y = a_1 x^2+bx+c$
$ y = a_2 x^2+bx+c $
Пересекаются при x=0 (точка касания)
Одна точка пересечения (касание) (0;c)
$A \neq 0, B = 0, C \neq 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 = b_2 $
$ c_1 \neq c_2 $
Параболы имеют вид
$ y = a_1 x^2+bx+c_1$
$ y = a_2 x^2+bx+c_2 $
Не пересекаются, если
$- \frac{c_1-c_2}{a_1-a_2} \lt 0 $
Две точки пересечения
Если
$- \frac{c_1-c_2}{a_1-a_2} \gt 0 $
Пересекаются в двух точках
$$ x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c_1-c_2}{a_1-a_2}} $$
Две точки пересечения
$A \neq 0, B \neq 0, C = 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $
$ c_1 = c_2 $
Параболы имеют вид
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c $$
$$ y = a_2 x^2+b_2 x+c $$
Две точки пересечения
$ x_1 = 0 $
$$x_2 = -\frac{b_1-b_2}{a_1-a_2}$$
Две точки пересечения,
одна из которых (0;c)
$A \neq 0, B \neq 0, C \neq 0$
$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $
$ c_1 \neq c_2 $
Все параметры парабол разные
Ищем дискриминант:
$$ D = B^2-4AC $$
Если $D \gt 0$
Две точки пересечения
$$ x_1,2 = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} $$
Две точки пересечения
Если D = 0
Одна точка пересечения (касание)
$$ x_0 = -\frac{B}{2A} $$
Одна точка пересечения
(касание)
Если $D \lt 0$
Точек пересечения нет
Точек пересечения нет
Внимание!
Если две параболы не совпадают, то они могут иметь 1) две точки пересечения; 2) одну точку пересечения; 3) ни одной точки пересечения.
Иметь ровно 3, 4, 5 и т.д. точек пересечения две параболы не могут!
Примеры
Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:
$а) y = 3x^2+2x-1$
Пересечение с осью OY: ${\left\{ \begin{array}{c} x = 0 \\ y = -1\end{array} \right.}$
Пересечение с осью OX:
$$ 3x^2+2x-1 = 0 \Rightarrow (3x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow $$
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{1}{3} \\ y = 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x = -1 \\ y = 0 \end{array} \right.} \end{array} \right.$ - две точки пересечения
$б) y = -4x^2-3x+1$
Пересечение с осью OY: ${\left\{ \begin{array}{c} x = 0 \\ y = 1\end{array} \right.}$
Пересечение с осью OX:
$$ -4x^2-3x+1 = 0 \Rightarrow 4x^2+3x-1 = 0 $$
$$ (4x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow$$
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{1}{4} \\ y = 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x = -1 \\ y = 0 \end{array} \right.} \end{array} \right.$ - две точки пересечения
$в) y = 5x^2-2x+1$
Пересечение с осью OY: ${\left\{ \begin{array}{c} x = 0 \\ y = 1\end{array} \right.}$
Пересечение с осью OX:
$$ 5x^2-2x+1 = 0 $$
$$ D = 2^2-4 \cdot 5 \cdot 1 = 4-20 = -16 \lt 0 $$
Парабола не пересекает ось OX
$ г) y = -x^2+4x-4 $
Пересечение с осью OY: ${\left\{ \begin{array}{c} x = 0 \\ y = -4\end{array} \right.}$
Пересечение с осью OX:
$$ -x^2+4x-4 = 0 \Rightarrow x^2-4x+4 = 0 \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 2 \\ y = 0 \end{array} \right.}$$ - одна точка пересечения
Пример 2*. Даны две параболы
$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$
Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы
1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.
По условию
$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$
$$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $$
A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k
Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.
1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:
1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1
$$x_1 = 0, x_2 = -\frac{B}{A} = -2$$
$${\left\{ \begin{array}{c} y = 2x^2+5x+1 \\ y = x^2+3x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x_1 = 0 \\ y_1 = 1\end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x_2 = -2 \\ y_2 = -1 \end{array} \right.} \end{array} \right.$$
2 случай: $c_2 ≠ c_1, D \gt 0$
$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 \cdot 1 \cdot (1-k) = 4k \gt 0 \Rightarrow k \gt 0 $$
Например, k = 4
$$ D = 4k = 16 = 4^2 $$
$$ x_1,2 = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-2 \pm 4}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -3\\ x_2 = 1 \end{array} \right. $$
Оба случая можем объединить требованием $k \gt 0$.
2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:
$$ D = 4k = 0 \Rightarrow k = 0 $$
$${\left\{ \begin{array}{c} y = 2x^2+5x+1 \\ y = x^2+3x \end{array} \right.} $$
$$ x_0 = \frac{-B}{2A} = -1 $$
3) Параболы не имеют общих точек, если:
$$ D = 4k \lt 0 \Rightarrow k \lt 0 $$
Например, k = -1
Ответ: 1) $k \gt 0$; 2) k = 0; 3) $k \lt 0$
Пример 3. Две параболы с общей вершиной
Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.
Пусть уравнения парабол:
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
Координаты вершин:
$$ \left( -\frac{b_1}{2a_1}, - \frac{D_1}{4a_1} \right), \left(- \frac{b_2}{2a_2},- \frac{D_2}{4a_2} \right) $$
По условию:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} -\frac{b_1}{2a_1} = -\frac{b_2}{2a_2} \\ -\frac{D_1}{4a_1} = -\frac{D_2}{4a_2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{2a_2} \\ \frac{D_1}{a_1} = \frac{D_2}{a_2} \end{array} \right.} $$
Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.
Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = \frac{x^2}{2}-3x+1$.
Координаты вершины:
$$ x_0 = - \frac{b}{2a} = - \frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 7 $$
$$ y_0 = - \frac{D}{4a} = - \frac{7}{4 \cdot \frac{1}{2}} = -3,5 $$
Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$
Пропорции для параметров (см. пример 3):
$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{b}{a} = \frac{-3}{1/2} = -6 \\ \frac{D}{a} = \frac{7}{1/2} = 14 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} b = -6a \\ D = 14a \end{array} \right.} $$
Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = -6a = -6 \\ D = 14a = 14 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = -6 \\ b^2-4ac = 14 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = -6 \\ 36-4c = 14 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = -6 \\ c = \frac{36-14}{4} = 5,5 \end{array} \right.}$$
$$ y = x^2-6x+5,5 $$
$$ {\left\{ \begin{array}{c} a = -0,2 \\ b = -6a = 1,2 \\ D = 14a = -2,8 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = -0,2 \\ b = 1,2 \\ 1,2^2-4 \cdot (-0,2)c = -2,8 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = -0,2 \\ b = 1,2 \\ c = - \frac{1,44+2,8}{0,8} = -5,3 \end{array} \right.} $$
$$ y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$
Параболы
$$ y = \frac{x^2}{2}-3x+1, y = x^2-6x+5,5, y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$
имеют общую вершину (3;-3,5)
Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = \frac{x^2}{3}-2x+5$.
Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.
Координаты вершины траектории кометы:
$$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 5 = - \frac{8}{3} $$
$$ y_0 = - \frac{D}{4a} = - \frac{-8/3}{4 \cdot 1/3} = 2 $$
Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.
Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.
Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{b}{a} = \frac{-2}{1/3} = -6 \\ \frac{D}{a} = \frac{-\frac{8}{3}}{\frac{1}{3}} = -8 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} b = -6a \\ D = b^2-4a \underbrace{c}_{\text{= 0 }} = b^2 = -8a \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} b = -6a \\ b^2 = -8a \end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$ {\left\{ \begin{array}{c} b = \frac{-8a}{-6a} = \frac{4}{3} \\ a = -\frac{b}{6} = -\frac{2}{9} \end{array} \right.} $$
Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:
$$ y = -\frac{2}{9} x^2+ \frac{4}{3} x $$
