Возведение алгебраических дробей в степень
Правило возведения алгебраических дробей в степень
О степени с натуральным показателем и её свойствах – см. §10-11 справочника для 7 класса.
При возведении алгебраической дроби в степень получается дробь, у которой числитель равен степени числителя исходной алгебраической дроби, а знаменатель – степени знаменателя:
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} b \neq 0, d \neq 0 $$
Например:
$$ \left(\frac{2x+3}{y-1}\right)^2 = \frac{(2x+3)^2}{(y-1)^2} = \frac{4x^2+12x+9}{y^2-2y+1} $$
$$ \left(\frac{x}{5y^2 z^3}\right)^4 = \frac{x^4}{5^4 (y^2 )^4 (z^3 )^4} = \frac{x^4}{625y^8 z^{12}} $$
Примеры
Пример 1. Найдите степени дробей:
а) $$ \left(-\frac{2x}{y^2 z^3}\right)^3 = (-1)^3 \frac{2^3 x^3}{y^{2\cdot3} z^{3\cdot3}} = -\frac{8x^3}{y^6 z^9}$$
б)$$ \left(-\frac{a+b}{7xy^2}\right)^2 = (-1)^2 \frac{(a+b)^2}{7^2 x^2 y^4} = \frac{a^2+2ab+b^2}{49x^2 y^4}$$
в) $$ \left(\frac{3a^2 b}{z^5}\right)^4 = \left(\frac{3^4 a^{2\cdot4} b^4}{z^{5\cdot4}}\right) = \left(\frac{81a^8 b^4}{z^{20}}\right) $$
г) $$ \left(\frac{x+3}{x-9}\right)^2 = \frac{(x+3)^2}{(x-9)^2} = \frac{x^2+6x+9}{x^2-18x+81}$$
Пример 2. Представьте в виде многочлена:
а) $$ \left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2 = \left(\frac{x^2-y^2}{xy}\right)^2 = \frac{x^4-2x^2 y^2+y^4}{x^2 y^2} = \frac{x^2}{y^2} - 2+ \frac{y^2}{x^2} $$
б)$$ \left(a+\frac{1}{a}\right)^2 = \left(\frac{a^2+1}{a}\right)^2 = \frac{a^4+2a^2+1}{a^2} = a^2+2+ \frac{1}{a^2} $$
в)$$ \left(\frac{a}{b}+1\right)^2 = \left(\frac{a}{b}-1\right)^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \frac{2a}{b} +1 + \left(\frac{a}{b}\right)^2 - \frac{2a}{b} +1 = 2 \frac{a^2}{b^2}+2$$
г) $$ \left(\frac{x}{y}+1\right)^2 - \left(\frac{x}{y}-1\right)^2 = \left(\frac{x}{y}\right)^2 + \frac{2x}{y}+1-\frac{x}{y}^2+\frac{2x}{y}-1 = \frac{4x}{y} $$
Пример 3. Представьте в виде квадрата алгебраической дроби:
а) $$ \frac{x^2+6x+9}{y^2-2y+1} = \frac{(x+3)^2}{(y-1)^2} = \left(\frac{x+3}{y-1}\right)^2 $$
б) $$ \frac{4a^2+4a+1}{9b^2+18b+9} = \frac{(2a+1)^2}{9(b^2+2b+1)} = \frac{(2a+1)^2}{3^2 (b+1)^2} = \left(\frac{2a+1}{3(b+1)}\right)^2 $$
в) $$ \frac{27x^2+18x+3}{12y^2-12y+3} = \frac{3(9x^2+6x+1)}{3(4y^2-4y+1)} = \frac{(3x+1)^2}{(2y-1)^2} = \left(\frac{3x+1}{2y-1}\right)^2 $$
г) $$ \frac{a^2+ab+b^2}{(a^3-b^3 )(a-b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2 )(a-b)} = \frac{1}{(a-b)^2} = \left(\frac{1}{a-b}\right)^2 $$
Пример 4*. Используя свойства степеней с натуральным показателем, упростите выражения:
а) $$ \frac{x^{n+2}-6x^{n+1}+9x^n}{x^3-9x^2+27x-27}- \frac{3x^{n-1}}{x-3} = \frac{x^n (x^2-6x+9)}{(x-3)^3} - \frac{3x^{n-1}}{x-3} = $$
$$ = \frac{x^n (x-3)^2}{(x-3)^3} - \frac{3x^{n-1}}{x-3} = \frac{x^n}{x-3} - \frac{3x^{n-1}}{x-3} = \frac{x^n-3x^{n-1}}{x-3} = \frac{x^{n-1} (x-3)}{x-3} = x^{n-1} $$
б) $$ \frac{a^{n-1}}{a^n b-b^{n+1}} - \frac{b^{n-1}}{a^{n+1}-ab^n} = \frac{a^{n-1}}{b(a^n-b^n )} - \frac{b^{n-1}}{a(a^n-b^n )} =$$
$$ = \frac{a^n-b^n}{ab(a^n-b^n )} = \frac{1}{ab} $$
