Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение и его корни
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:
$$ x^2+bx+c = 0 $$
Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D \ge 0$) справедливо следующее:
$$ x^2+bx+c = (x-x_1 )(x-x_2 ) $$
$$ x_1+x_2 = -b, \quad x_1 x_2 = c $$
Например:
$$ x^2+5x-6 = (x+6)(x-1) $$
$$ x_1 = -6, x_2 = 1, \quad x_1+x_2 = -5, \quad x_1 x_2 = -6 $$
Теорема Виета
Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D \ge 0$) справедливо следующее:
$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$
$$ x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} $$
Например:
$$ 2x^2+5x-3 = 2 \left(x-\frac{1}{2} \right)(x+3) $$
$$ x_1 = \frac{1}{2}, x_2=-3, \quad x_1+x_2=-\frac{5}{2}, \quad x_1 x_2 = - \frac{3}{2} $$
Примеры
Пример 1. Составьте квадратное уравнение по его корням:
а) -2 и 5
$(x+2)(x-5) = x^2-3x-10 $
Искомое уравнение: $x^2-3x-10 = 0$
б) -0,5 и 4
$$ (x+0,5)(x-4) = x^2-3,5x-2 $$
Искомое уравнение: $x^2-3,5x-2 = 0$
$в) \frac{1}{3} и \frac{1}{2}$
$$ \left(x-\frac{1}{3} \right) \left(x-\frac{1}{2} \right) = x^2- \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right)x+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = x^2-\frac{5}{6} x+\frac{1}{6} $$
Искомое уравнение: $x^2-\frac{5}{6} x+\frac{1}{6} = 0 или 6x^2-5x+1 = 0$
$г) \frac{3}{5}$ - один корень
$$ \left(x-\frac{3}{5} \right)^2 = x^2-2 \cdot \frac{3}{5} x+ \left(\frac{3}{5} \right)^2 = x^2-\frac{6}{5} x+\frac{9}{25}$$
Искомое уравнение: $x^2-\frac{6}{5} x+ \frac{9}{25} = 0$ или $25x^2-30x+9 = 0$
Пример 2. Один из корней уравнения $x^2+bx-21 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент b.
По теореме Виета можем записать:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x_2+3 = -b \\ 3x_2 = -21 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} b = -x_2-3 = 4 \\ x_2 = -7 \end{array} \right.} $$
Получаем: второй корень равен -7, уравнение имеет вид $x^2+4x-21 = 0$.
Ответ: $x_2$ = -7, b = 4
Пример 3. Один из корней уравнения $x^2+3x+c = 0$ равен 12. Найдите другой корень и коэффициент c.
По теореме Виета можем записать:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x_2+12 = -3 \\ 12x_2 = c \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x_2 = -15 \\ c = 12 \cdot (-15) = -180 \end{array} \right.} $$
Получаем: второй корень равен -15, уравнение имеет вид $x^2+3x-180 = 0$.
Ответ: $x_2$ = -15, c = -180
Пример 4*. Дано уравнение $x^2+5x-7 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$.
Не решая его, постройте уравнение:
а) с корнями $y_1 = \frac{1}{x_1}, y_2 = \frac{1}{x_2}$
По теореме Виета для корней исходного уравнения получаем:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x_1 x_2 = -7 \\ x_1+x_2 = -5 \end{array} \right.} $$
Для корней искомого уравнения можем записать:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} y_1 y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 x_2} = -\frac{1}{7} \\ y_1+y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1 x_2} = \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} c = - \frac{1}{7} \\ b=- \frac{5}{7} \end{array} \right.} $$
$$ y^2-\frac{5}{7} y-\frac{1}{7} = 0 \iff 7y^2-5y-1 = 0 $$
б) с корнями $y_1 = \frac{x_1}{x_2} ,y_2 = \frac{x_2}{x_1} $
Для корней искомого уравнения можем записать:
$${\left\{ \begin{array}{c} y_1 y_2 = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1 \\ y_1+y_2 = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1^2+2x_1 x_2+x_2^2 )-2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1+x_2 )^2}{x_1 x_2}-2 = \frac{(-5)^2}{-7} -2 = - \frac{25}{7}-2 = - \frac{39}{7} \end{array} \right.}$$
$$ {\left\{ \begin{array}{c} c = 1 \\ b = \frac{39}{7} \end{array} \right.} $$
$$ y^2+\frac{39}{7} y+1 = 0 \iff 7y^2+39y+7 = 0 $$
