Свойства неравенств
Понятие числового неравенства и неравенства с одной переменной
Числовое неравенство – это математическое выражение, в котором есть две стороны и один из знаков неравенства между ними: $\neq, \lt, \le, \ge, \gt$.
Каждая из сторон числового неравенства является числом или числовым выражением.
Например: $1 \lt 5,3; 21,5 \gt (10-4,9); 3 \neq \frac{8}{1,5}; \frac{\sqrt{17-3}}{2} \gt 1$
Неравенство с одной переменной – это математическое выражение, в котором есть две стороны и один из знаков неравенства между ними: $\neq, \lt, \le, \ge, \gt$.
Каждая из сторон неравенства с одной переменной является алгебраическим выражением с этой переменной.
Например: $x^2+4 \le x-1; 5x+2 \gt 0; \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \le 1+x$
Понятие «больше», «меньше», «равно» для двух выражений a и b связано с отношением разности этих двух выражений и нуля:
$$ a \gt b \iff a-b \gt 0 $$
$$ a \lt b \iff a-b \lt 0 $$
$$ a = b \iff a-b = 0 $$
Свойства неравенства
Три основные свойства неравенства
Антирефлексивность для строгого неравенства
Рефлексивность для нестрогого неравенства
$a \gt a, a \lt a$ – ложные неравенства
$a \ge a, a \le a$ - истинные неравенства
Антисимметричность
$a \gt b \iff b \lt a$
$a \ge b \iff b \le a$
Транзитивность
$ {\left\{ \begin{array}{c} a \gt b \\ b \gt c \end{array} \right.} \Rightarrow a \gt c, {\left\{ \begin{array}{c} a \lt b \\ b \lt c \end{array} \right.} \Rightarrow a \lt c$
$ {\left\{ \begin{array}{c} a \ge b \\ b \ge c \end{array} \right.} \Rightarrow a \ge c, {\left\{ \begin{array}{c} a \le b \\ b \le c \end{array} \right.} \Rightarrow a \le c $
Свойства неравенства по отношению к основным математическим операциям
Сохранение знака при сложении
$ a \lt b \Rightarrow a+c \lt b+c$
Аналогично для $\le, \ge, \gt$
Сохранение знака при вычитании
$ a \lt b \Rightarrow a-c \lt b-c$
Аналогично для $\le, \ge, \gt$
Сохранение знака при умножении на положительное число
$ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt b \\ k \gt 0 \end{array} \right.} \Rightarrow ka \lt kb$
Аналогично для $\le, \ge, \gt$
Изменение знака при умножении на отрицательное число
$ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt b \\ k \lt 0 \end{array} \right.} \Rightarrow ka \gt kb$
Аналогично для $\le, \ge, \gt$
Сохранение знака при делении на положительное число
$ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt b \\ k \lt 0 \end{array} \right.} \Rightarrow \frac{a}{k} \lt \frac{b}{k}$
Аналогично для $\le, \ge, \gt$
Изменение знака при делении на отрицательное число
$ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt b \\ k \lt 0 \end{array} \right.} \Rightarrow \frac{a}{k} \gt \frac{b}{k}$
Аналогично для $\le, \ge, \gt$
Изменение знака для чисел обратных данным положительным числам
$ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt b \\ a \gt 0, b \gt 0 \end{array} \right.} \Rightarrow \frac{1}{a} \gt \frac{1}{b}$
Аналогично для $\le, \ge, \gt$
Сложение и умножение неравенств
При сложении любого конечного числа неравенств с одним знаком этот знак сохраняется.
${\left\{ \begin{array}{c} a \lt b \\ c \lt d \\ \cdots \\ k \lt m \end{array} \right.} \Rightarrow a+c+ \cdots +k \lt b+d+ \cdots +m$
Аналогично для $\le, \ge, \gt$
При умножении любого конечного числа неравенств с одним знаком и положительными числами этот знак сохраняется.
${\left\{ \begin{array}{c} a \lt b \\ c \lt d \\ \cdots \\ k \lt m \\ a,b, ..., m \gt 0 \end{array} \right.} \Rightarrow a \cdot c \cdot ... \cdot k \lt b \cdot d \cdot ... \cdot m$
Аналогично для $\le, \ge, \gt$
При возведении двух положительных сторон неравенства в натуральную степень знак неравенства сохраняется .
${\left\{ \begin{array}{c} a \lt b \\ a,b \gt d \end{array} \right.} \Rightarrow a^n \lt b^n, n \in \Bbb N$
Аналогично для $\le, \ge, \gt$
Примеры
Пример 1. Расположите в порядке возрастания числа:
а) $-1 \frac{1}{4}; -1,3; 0,(9); 1 \frac{1}{5};0,9$
Получаем ряд:
$$-1,3 \lt -1 \frac{1}{4} \lt 0,9 \lt 0,(9) \lt 1 \frac{1}{5} $$
б) $0,5;- \frac{2}{3};-\frac{1}{2};1 \frac{1}{3};1,33 $
Получаем ряд:
$$ -\frac{2}{3} \lt -\frac{1}{2} \lt 0,5 \lt 1,33 \lt 1 \frac{1}{3}$$
Пример 2. Число a положительное или отрицательное, если известно:
а) ${\left\{ \begin{array}{c} a+2 \lt b+2 \\ b \lt -1 \end{array} \right.} $
По свойству неравенств, если отнять 2 с двух сторон: $a+2 \lt b+2 \Rightarrow a \lt b$
По свойству транзитивности: $a \lt b \lt -1 \Rightarrow a \lt -1$
Ещё раз, по свойству транзитивности: $a \lt b \lt -1 \Rightarrow a \lt -1$ - отрицательное число
б)$ {\left\{ \begin{array}{c} 5a \gt 5b \\ b \gt \frac{1}{3} \end{array} \right.} $
По свойству неравенств, если разделить на 5 с двух сторон: $5a \gt 5b \Rightarrow a \gt b$
По свойству транзитивности: $a \gt b \gt \frac{1}{3} \Rightarrow a \gt \frac{1}{3}$
Ещё раз, по свойству транзитивности: $a \gt \frac{1}{3} \gt 0 \Rightarrow a \gt 0$ - положительное число
Пример 3. Известно, что $a \gt b$. Поставьте знаки так, чтобы получилось верное неравенство:
-5a ? -5b
Умножение на отрицательное число, знак меняется
$ \frac{a}{3} ? \frac{b}{3}$
Деление на положительное число, знак не меняется
$ \frac{a}{3} \gt \frac{b}{3}$
$ -\frac{a}{7} ? -\frac{b}{7}$
Деление на отрицательное число, знак меняется
$ -\frac{a}{7} \lt -\frac{b}{7}$
0,06a ? 0,06b
Умножение на положительное число, знак не меняется
$ 0,06a \gt 0,06b$
Пример 4. Известно, что $1 \lt x \lt 2$. Оцените значение выражения:
а) 2x
По свойству неравенств, если умножить всё на 2: $2 \lt 2x \lt 4$
б) 5-3x
По свойству неравенств, если умножить всё на -3: $-3 \gt -3x \gt -6$
Если ко всему прибавить 5: $5-3 \gt 5-3x \gt 5-6$
Подсчитаем и развернём неравенство: $2 \gt 5-3x \gt -1$
$-1 \lt 5-3x \lt 2 $
Пример 5. Оцените значение выражения $\frac{1}{x}$, если:
а) $2 \lt x \lt 3$
По свойству неравенств для его положительных сторон: $\frac{1}{2} \gt \frac{1}{x} \gt \frac{1}{3}$
Или: $\frac{1}{3} \lt \frac{1}{x} \lt \frac{1}{2}$
б) $\frac{1}{4} \lt x \lt 0,5$
По свойству неравенств для его положительных сторон: $\frac{1}{1/4} \gt \frac{1}{x} \gt \frac{1}{0,5}$
Или: $2 \lt \frac{1}{x} \lt 4$
Пример 6. Известно, что периметр квадрата лежит в интервале $7,6 см \le P \le 8,4 см$.
Оцените площадь квадрата.
Периметр квадрата: P = 4a. Получаем оценку для стороны квадрата:
$$ 7,6 см \le 4a \le 8,4 см |:4 $$
$$ 1,9 см \le a \le 2,1 см $$
По свойству неравенств при возведении в квадрат его положительных сторон знак не меняется:
$$ 1,9^2 см^2 \le a^2 \le 2,1^2 см^2 \Rightarrow 3,61 см^2 \le S \le 4,41 см^2 $$
