Стандартная запись числа
Определение стандартного вида числа
Стандартным видом числа b называют его запись в виде
$$ b = a \cdot 10^n, n \in \Bbb Z, 1 \le |a|\lt 10 $$
При этом число a называют мантиссой числа b, а n - порядком числа b.
Например:
$$ 100500 = 1,005 \cdot 10^5; 0,06 = 6 \cdot 10^{-2}; -0,0777 \cdot 10^{-2} = -7,77 \cdot 10^{-4} $$
Оперировать числами в стандартном виде намного удобней, чем пересчитывать и переписывать бесчисленные нули слева или справа.
На рисунке вверху показан результат работы программы, находящей решение 128 линейных уравнений с 128 неизвестными.
В окошке «Accuracy» задана точность вычислений $1,0 \cdot 10^{-10}$. Пользователь записывает её в так называемой «научной нотации». Если бы такого соглашения не было, ему пришлось бы долго вбивать, считать и пересчитывать нули.
Алгоритм записи числа в стандартном виде
Найдём, сколько секунд в году, и запишем результат в стандартном виде:
$$ 365 \frac{день}{год} \cdot 24 \frac{ч}{день} \cdot 3600 \frac{с}{ч} = 31536000 \frac{с}{год} = 3,1536 \cdot 10^7 \frac{с}{год} $$
В данном случае запятая $31536000,0 → 3,1536 \cdot 10^7$ перемещается на 7 позиций влево. Значит, порядок этого числа n = 7.
Теперь запишем в стандартном виде массу молекулы кислорода $O_2$:
$$ 0,000 000 000 000 000 000 000 053 г = 5,3 \cdot 10^{-23} г $$
Поставив запятую после 5, мы переместили её на 23 позиции вправо. Значит, порядок этого числа n = -23.
Алгоритм
Шаг 1. Поставить в данном числе новую запятую так, чтобы в целой части осталась одна, отличная от нуля, цифра.
Шаг 2. Посчитать количество цифр, на которое переместилась запятая. Это количество определяет порядок n. Если запятая переместилась влево, то $n \gt 0$; при перемещении вправо $n \lt 0$.
Шаг 3. Записать число в стандартном виде: $b = a \cdot 10^n$.
Сравнение чисел, записанных в стандартном виде
Сравниваем два положительных числа:
$$ b = a \cdot 10^n, d = c \cdot 10^m, b \gt 0, d \gt 0 $$
Число с большим порядком больше числа с меньшим порядком:
$$ n \gt m \Rightarrow b \gt d $$
$$ n \lt m \Rightarrow b \lt d $$
Если порядки одинаковы, то сравнивают мантиссы:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} n = m \\ a \gt c \end{array} \right.} \Rightarrow b \gt d $$
$$ {\left\{ \begin{array}{c} n = m \\ a \lt c \end{array} \right.} \Rightarrow b \lt d $$
Примеры
Пример 1. Выполните действия и запишите результат в стандартном виде:
$ а) (4,1 \cdot 10^7 )^2 \cdot 3,9 \cdot 10^{-8} = 4,1^2 \cdot 3,9 \cdot 10^{14-8} = 65,559 \cdot 10^6 = 6,5559 \cdot 10^7 $
$ б) (9,3 \cdot 10^{-9})^2:(3 \cdot 10^{-10} ) = \frac{9,3^2}{3} \cdot 10^{-18+10} = 28,83 \cdot 10^{-8} = 2,883 \cdot 10^{-7} $
Пример 2. Сравните числа:
$а) 5,8 \cdot 10^9 и 4,7 \cdot 10^{10}$
У второго числа порядок больше. Значит: $5,8 \cdot 10^9 \lt 4,7 \cdot 10^{10}$
$ б) 3,7 \cdot 10^5 и 2,8 \cdot 10^5 $
Порядки чисел одинаковы, мантисса первого числа больше.
Значит: $3,7 \cdot 10^5 > 2,8 \cdot 10^5$
$ в) 3,7 \cdot 10^{-8} и 2,5 \cdot 10^{-9}$
У первого числа порядок больше $-8 \gt -9$. Значит: $3,7 \cdot 10^{-8} > 2,5 \cdot 10^{-9}$
$г) 2,1 \cdot 10^{-7} и 2,5 \cdot 10^{-7}$
Порядки чисел одинаковы, мантисса второго числа больше.
Значит: $2,1 \cdot 10^{-7} \lt 2,5 \cdot 10^{-7}$
Пример 3. Найдите массу одной молекулы углекислого газа в граммах.
Из таблицы Менделеева находим молярную массу молекулы $CO_2$:
$$ μ(CO_2 ) = 12+2 \cdot 16 = 44 (\frac{г}{моль}) $$
Количество молекул газа в одном моле определяется числом Авогадро:
$$ N_A = 6,022 \cdot 10^{23} (\frac{1}{моль}) $$
Масса одной молекулы: $m_0 = \frac{μ(CO_2 )}{N_A} $
Получаем:
$$ m_0 = \frac{44}{6,022 \cdot 10^{23}} \approx 7,3 \cdot 10^{-23} (г) $$
Ответ: $7,3 \cdot 10^{-23}$
Пример 4. Космический аппарат «Вояджер-1» находится сейчас (август 2022 г.) на расстоянии 156,98 а.е. от Земли (https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/status/). Через сколько часов мы принимаем радиосигнал после того, как он был передан аппаратом?
1 а.е. (астрономическая единица) = 149 597 870 700 м \approx 1,496 \cdot 10^{11} м
Скорость распространения радиосигнала (скорость света)
$ c = 299 792 458 \frac{м}{с} \approx 3 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$
Получаем время приёма:
$$ t = \frac{s}{c}, t = \frac{156,98 \cdot 1,496 \cdot 10^{11}}{3 \cdot 10^8} \approx 7,8 \cdot 10^4 (с) \approx 21,74 (ч) = 21 ч 44 мин $$
Таким образом, «Вояджер-1» спустя 45 лет находится от нас на расстоянии ≈ 21,7 световых часов.
Ответ: 21 ч 44 мин
Пример 5. Космический аппарат «Вояджер-1» спустя 45 лет находится от Земли на расстоянии 21,7 световых часов (см. Пример 4). Сколько тысячелетий ему понадобится, чтобы с такой скоростью добраться до ближайшей звезды Проксима Центавра, которая расположена примерно в 4,244 световых года от нас?
Запишем соотношение:
45 лет - 21,7 св.ч
x лет - 4,244 св.г
Переведём световые годы в световые часы:
$4,244 св.г = 4,244 \cdot 365 \cdot 24 св.ч \approx 3,718 \cdot 10^4 св.ч$
Получаем:
$$ x = \frac{45 \cdot 3,718 \cdot 10^{4}}{21,7} \approx 77,1 тыс.лет $$
Ответ: $\approx 77,1 тыс.лет$
