Сложение и вычитание алгебраических дробей

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

Например:

$$ \frac{1}{x+5} + \frac{x-3}{25-x^2} = \frac{1}{x+5}+ \frac{3-x}{x^2-25} = \frac{1^{/×(x-5)}}{x+5} + \frac{3-x}{(x-5)(x+5)} =$$

$$ = \frac{x-5+3-x}{(x-5)(x+5)} = -\frac{2}{x^2-25} = \frac{2}{25-x^2} $$

Примеры

Пример 1. Выполните действия:

$а) 9- \frac{6}{a}+ \frac{1}{a^2} = 9^{a^2}- \frac{6^{a}}{a}+ \frac{1^{1}}{a^2} = \frac{9a^2-6a+1}{a^2} $

$б) a- \frac{a}{a+1} = \frac{a(a+1)-a}{a+1} = \frac{a^2+a-a}{a+1} = \frac{a^2}{a+1}$

$в) b+3+ \frac{b^2}{1-b} = b+3- \frac{b^2}{b-1} = \frac{(b+3)(b-1)-b^2}{b-1} = \frac{b^2+2b-3-b^2}{b-1} = \frac{2b-3}{b-1}$

$г) \frac{x-1}{x+1}-\frac{x}{x-1} = \frac{(x-1)^2-x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2-2x+1-x^2-x}{x^2-1} = \frac{1-3x}{x^2-1}$

$д) \frac{1}{x-1} - \frac{3}{x+1} - \frac{4}{x^2-1} = \frac{x+1-3(x-1)-4}{(x+1)(x-1)} = -\frac{2x}{x^2-1}$

$е) \frac{a^2}{(a-4)^2} - \frac{16}{(4-a)^2} = \frac{a^2}{(a-4)^2} - \frac{16}{(a-4)^2} = \frac{a^2-16}{(a-4)^2} = \frac{(a-4)(a+4)}{(a-4)^2} = \frac{a+4}{a-4}$

Пример 2. Упростите выражение:

$а) \frac{x}{7x+49y}+ \frac{y}{x+7y} = \frac{x}{7(x+7y)} + \frac{y^{7}}{x+7y} = \frac{x+7y}{7(x+7y)} = \frac{1}{7}$

$б) \frac{a}{3a-1} - \frac{a}{1+3a} = \frac{a}{3a-1} - \frac{a}{3a+1} = a \left( \frac{1}{3a-1} - \frac{1}{3a+1} \right) = \frac{a(3a+1-3a+1)}{(3a-1)(3a+1)} = \frac{2a}{9a^2-1}$

$в) \frac{b}{5x-10} + \frac{b}{3x-6} = \frac{b}{5(x-2)} + \frac{b}{3(x-2)} = \frac{b}{x-2} \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{3} \right) = \frac{b}{x-2} \cdot \frac{8}{15} = \frac{8b}{15(x-2)} $

$г) \frac{5a+3}{2a+2} - \frac{7a+4}{3a+3} = \frac{5a+3}{2(a+1)} - \frac{7a+4}{3(a+1)} = \frac{1}{a+1} \left(\frac{5a+3}{2} - \frac{7a+4}{3} \right) = \frac{1}{a+1} \cdot \frac{15a+9-14a-8}{6} = \frac{1}{a+1} \cdot \frac{a+1}{6} = \frac{1}{6}$

$д) \frac{(a+b)^2}{a^2+ab} + \frac{(a-b)^2}{a^2-ab}+7 = \frac{(a+b)^2}{a(a+b)} + \frac{(a-b)^2}{a(a-b)} +7 = \frac{a+b}{a}+ \frac{a-b}{a}+7 = \frac{a+b+a-b}{a}+7 = \frac{2a}{a}+7 =$

= 2+7 = 9

$е) \frac{1}{b+1}-\frac{1}{b-1}- \frac{b^2}{b+1} + \frac{b^3}{b-1} = \left(\frac{1}{b+1} - \frac{b^2}{b+1} \right) + \left(\frac{b^3}{b-1} - \frac{1}{b-1} \right) = \frac{1-b^2}{1+b} + \frac{b^3-1}{b-1} =$

$ = \frac{(1+b)(1-b)}{1+b} + \frac{(b-1)(b^2+b+1)}{b-1} = 1-b+b^2+b+1 = b^2+2 $

Пример 3*. Зная, что $\frac{a-b}{b}$ = 5, найдите значение дроби:

$а) \frac{a^2 b-36b^3}{a^3 b+2a^2 b^2+ab^3} = \frac{b(a^2-36b^2 )}{ab(a^2+2ab+b^2 )} = \frac{(a-6b)(a+6b)}{a(a+b)^2}$

$$ \frac{a-b}{b} = 5 \Rightarrow a-b = 5b \Rightarrow a = 6b, b \neq 0$$

Подставляем:

$$\frac{(a-6b)(a+6b)}{a(a+b)^2} = \frac{(6b-6b)(6b+6b)}{6b(6b+b)^2} = 0$$

$б) \frac{a^3-18a^2 b+108ab^2-216b^3}{a^4 b^2-a^2 b^4} = \frac{a^3-3a^2 \cdot 6b+3a(6b)^2-(6b)^3}{a^2 b^2 (a^2-b^2 )} = \frac{(a-6b)^3}{a^2 b^2 (a-b)(a+b)} $

Подставляем:

$$ \frac{(a-6b)^3}{(a^2 b^2 (a-b)(a+b)} = \frac{(6b-6b)^3}{(6b)^2 b^2 (6b-b)(6b+b)} = 0$$