Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Например:

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

Шаг 4. Решаем:

$$ x^2+5x-165 = 0 \Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -16 \\ x_2 = 11 \end{array} \right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Ответ: 54 см

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ - искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

Подставляем:

$$x^2-36x+315 = 0 $$

$$ D = 36^2-4 \cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = \frac{36 \pm 6}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 15 \\ x_2 = 21 \end{array} \right. $$

Ответ: 15 и 21

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y - искомые числа. Пусть $x \gt y$.

По условию $x-y = 9 \Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

Решаем уравнение:

$$ x^2-9x-162 = 0 $$

$$ D = 9^2-4 \cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = \frac{9 \pm 27}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -9 \\ x_2 = 18 \end{array} \right. $$

Получаем две пары чисел: $ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x_1 = -9 \\ y_1=-9-9=-18 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x_2 = 18 \\ y_2 = 18-9=9 \end{array} \right.} \end{array} \right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x - искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 6 \\ x_2 = 18 \end{array} \right. $$

Ответ: 6 или 18

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 - данные три числа.

По условию:

$$ (n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = 590 $$

$$ n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1 = 590 $$

$$ 3n^2 = 588 \Rightarrow n^2 = 196 \Rightarrow n = \pm \sqrt{196} = \pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Пусть t- обычное время поездки в часах.

Заполним таблицу:

По условию скорость в непогоду на 10 км/ч меньше. Получаем:

$$ \frac{700}{t} - \frac{700}{t + 1 \frac{2}{3}} = 10 $$

$$ \frac{700(t+ 1 \frac{2}{3} -t)}{t(t+1 \frac{2}{3})} = 10 \Rightarrow t(t+1 \frac{2}{3}) = \frac{700 \cdot 1 \frac{2}{3}}{10} = \frac{350}{3} $$

$$ t^2+ \frac{5}{3} t- \frac{350}{3} = 0 | \times 3 $$

$$ 3t^2+5t-350 = 0 $$

$$ D = 5^2-4 \cdot 3 \cdot (-350) = 25+4200 = 4225 = 65^2$$

$$ t = \frac{-5 \pm 65}{6} = \left[ \begin{array}{cc} t_1 = - \frac{35}{3} \lt 0 \\ t_2 = 10 \end{array} \right. $$

Выбираем положительный корень.

Дорога обычно занимает t=10 часов.

Ответ: 10 часов

Пример 6. Сплав золота и серебра, в котором было 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. Содержание золота в новом сплаве увеличилось на 20%. Сколько в сплаве серебра?

По условию часть золота увеличилась на 20%:

$$ \frac{180}{180+x} - \frac{80}{80+x} = 0,2 $$

$$ \frac{180(80+x)-80(180+x)}{(180+x)(80+x)} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{100x}{(180+x)(80+x)} = \frac{1}{5} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow (180+x)(80+x) = 500x $$

$$ x^2+80x+180x-500x+180 \cdot 80 = 0 $$

$$ x^2-240x+14400 = 0 \Rightarrow (x-120)^2 = 0 \Rightarrow x = 120 $$

В сплаве 120 г серебра.

Ответ: 120 г

Пример 7. Бассейн наполняется с помощью двух труб за 2 ч 55 мин.

Первая труба наполняет его на 2 часа быстрее, чем вторая.

За какое время каждая труба отдельно может наполнить бассейн?

Пусть t - время первой трубы, V - объём бассейна.

Заполним таблицу:

Из последней строки получаем:

$$2 \frac{11}{12} \Biggl( \frac{V}{t} + \frac{V}{t+2} \Biggr) = V |:V $$

$$ 2 \frac{11}{12} \Biggl( \frac{1}{t} + \frac{1}{t+2} \Biggr) = 1 |: 2 \frac{11}{12} $$

$$ \frac{1}{t} + \frac{1}{t+2} = \frac{12}{35} $$

$$ \frac{t+2+t}{t(t+2)} = \frac{12}{35} \Rightarrow 35(2t+2) = 12t(t+2) |:2 $$

$$ 35(t+1) = 6t(t+2) \Rightarrow 35t+35 = 6t^2+12t $$

$$ 6t^2-23t-35 = 0 $$

$$ D = 23^2-4 \cdot 6 \cdot (-35) = 529+840 = 1369 = 37^2 $$

$$ t = \frac{23 \pm 37}{12} = \left[ \begin{array}{cc} t_1 = - \frac{7}{6} \lt 0 \\ t_2 = 5 \end{array} \right. $$

Выбираем положительный корень t = 5.

Первая труба наполняет бассейн за 5 часов.

Вторая труба – на 2 часа дольше, т.е. за 7 часов.

Ответ: 5 ч и 7 ч

Пример 8*. Катер проплыл по течению 90 км за некоторое время. За то же время он бы проплыл против течения 70 км. Какое расстояние за это же время проплывёт плот?

Пусть v – собственная скорость катера, u - скорость течения (и плота), s - искомое расстояние, которое проплывёт плот.

Заполним таблицу:

По условию все три времени равны:

$$ \frac{90}{v+u} = \frac{70}{v-u} = \frac{s}{u} $$

Из первого уравнения:

$$ 90(v-u) = 70(v+u) \Rightarrow 90v-90u = 70v+70u \Rightarrow 20v = 160u \Rightarrow v = 8u $$

Скорость катера в 8 раз больше скорости течения.

Тогда во втором уравнении:

$$ \frac{70}{ \underbrace{v}_{\text{= 8u}} -u} = \frac{s}{u} \Rightarrow \frac{70}{7u} = \frac{s}{u} \Rightarrow s = 10 $$

Значит, плот проплывёт 10 км.

Ответ: 10 км