Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Примеры

Об общем алгоритме решения задач с помощью уравнений, см. §31 данного справочника.

Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?

Пусть t - время вечером, на дорогу от речки к посёлку.

Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $\frac{18}{60}$ = t-0,3 (ч)

Заполним таблицу:

По условию разность скоростей равна 10:

$$ \frac{60}{t-0,3} - \frac{60}{t} = =10 |:10 $$

$$ \frac{6}{t-0,3} - \frac{6}{t} = 1 \Rightarrow \frac{6(t-(t-0,3) )}{t(t-0,3)} = 1 $$

$$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$$

$$ t^2-0,3t-1,8 = 0 $$

$$ D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$

$$ t = \frac{0,3 \pm 2,7}{2} = \left[ \begin{array}{cc} t_1 = -1,1 \\ t_2 = 1,5 \end{array} \right. $$

Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч

Ответ: 1,5 ч

Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

Пусть u - скорость течения

Заполним таблицу:

По условию время против течения в 1,5 раз больше:

$$ 1,5 \cdot \frac{120}{20+u} = \frac{120}{20-u} |:120 $$

$$ \frac{1,5}{20+u} = \frac{1}{20-u}$$

$$ 1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20 $$

$$ 30-1,5u = 20+u $$

$$ 2,5u = 10 $$

$$ u = 4 $$

Ответ: 4 км/ч

Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.

Пусть x - масса воды в первоначальном растворе, в граммах.

Заполним таблицу:

По условию разность концентраций:

$$ \frac{50}{x+50} - \frac{50}{x+200} = 0,075 $$

$$ \frac{50(x+200-x-50)}{(x+50)(x+200)} = 0,075 $$

$$ 50 \cdot 150 = \frac{75}{1000} (x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200 $$

Сократим дробь:

$$ \frac{50 \cdot 150 \cdot 1000}{75} = \frac{50}{5} \cdot \frac{150}{15} \cdot 1000 = 100000 $$

Получаем:

$$ (x+50)(x+200) = 100000 $$

$$ x^2+250x+10000 = 100000 $$

$$ x^2+250x-90000 = 0 $$

$$ D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$

$$ = 100 \cdot 4225 = 650^2 $$

$$ x = \frac{-250 \pm 650}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -450 \\ x_2 = 200 \end{array} \right. $$

Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.

Ответ: 250 г

Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?

Пусть N изделий – это норма, t - время, потраченное мастером.

Заполним таблицу:

Из последней строки таблицы получаем:

$$ \frac{N}{t}+\frac{N}{t+12} = \frac{N}{8} |:N $$

$$ \frac{1}{t}+\frac{1}{t+12} = \frac{1}{8} $$

$$ \frac{t+12+t}{t(t+12)} = \frac{1}{8} $$

$$ 8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$$

$$ 16t+96 = t^2+12t $$

$$ t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} t_1 = -8 \\ t_2 = 12 \end{array} \right. $$

Выбираем положительный корень, t=12 ч - время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.

Ответ: 12 ч и 24 ч

Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы \frac{3}{5} проекта было готово.

За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?

Пусть d - количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.

Заполним таблицу:

Из последней строки таблицы получаем:

$$ 3 \Biggl(\frac{1}{d} + \frac{1}{d+12}\Biggr) = \frac{3}{5}-\frac{6}{d} |:3 $$

$$ \frac{1}{d} + \frac{1}{d+12} = \frac{1}{5}-\frac{2}{d} $$

$$ \frac{d+12+d}{d(d+12)} = \frac{d-10}{5d} | \times 5d(d+12), d \neq 0, d \neq -12 $$

$$ 5(2d+12) = (d-10)(d+12) \Rightarrow 10d+60 = d^2+2d-120 $$

$$ d^2-8d-180 = 0 \Rightarrow (d-18)(d+10) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} d_1 = -10 \\ d_2 = 18 \end{array} \right. $$

Выбираем положительный корень, d=18 дней – время самостоятельной работы 1-го фрилансера. 2-й фрилансер будет самостоятельно работать 18+12 = 30 дней.

Найдём фактически потраченное время.

3/5 проекта было сделано за 9 дней. Осталось 2/5, которые выполнялись совместно:

$$ \frac{2}{5}: \Biggl( \frac{1}{18}+ \frac{1}{30} \Biggr) = \frac{2}{5}: \frac{5+3}{90} = \frac{2}{5} \cdot \frac{45}{4} = \frac{9}{2} = 4,5 $$

Всего было потрачено 9+4,5 = 13,5 дней.

Ответ: 18 дней 1-й фрилансер; 30 дней 2-й фрилансер; 13,5 дней фактически.