Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется уравнение вида:
$$ ax^4+bx^2+c = 0, a \neq 0 $$
Алгоритм решения биквадратного уравнения
Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 \ge 0$.
Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$
Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.
Если $D \gt 0$, $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $. Проверить условие $z ≥ 0$, если положительных корней нет, решений нет, переход на шаг 4.
Если D = 0,$z_0 = -\frac{b}{2a}$. Проверить условие $z \ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.
Если $D \lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.
Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = \pm \sqrt{z}$.
Шаг 4. Работа завершена.
Например:
$x^4+7x^2-30 = 0 $
Шаг 1. $z = x^2 \ge 0, z^2+7z-30 = 0$
Шаг 2. (z+10)(z-3) = 0
$z_1 = -10 \lt 0, z_2 = 3 \gt 0 $
Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_{1,2} = \pm \sqrt{3}$
Ответ: $\{\pm \sqrt{3} \}$
Метод разложения на множители
Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.
Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1} + ⋯ + a_1 x+a_0$ если $P_n (x_0 ) = 0$.
Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.
Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_{n-1} (x)$, где $P_{n-1} (x)$ - многочлен степени n-1.
Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.
При разложении многочлена
- множители вида (x-a) называют линейными множителями;
- множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D \lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями.
Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.
Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.
Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:
- вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
- группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
- формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
- метод неопределённых коэффициентов;
- выделение полного квадрата и т.п.
Например:
Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.
Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$
$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$
Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \frac{1}{2}$
Ответ: $\{ \pm 2; \frac{1}{2} \}$
Метод замены переменной
Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:
$Исходное \quad сложное \quad уравнение \iff {\left\{ \begin{array}{c} Новая \quad переменная \quad (урав. \quad связи \quad со \quad старой \quad переменной \\ Исходное \quad урав. \quad в \quad "упрощ." \quad виде \end{array} \right.}$
Например, для биквадратных уравнений:
$$ ax^4+bx^2+c = 0 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = x^2 \ge 0 \\ az^2+bz+c = 0 \end{array} \right.} $$
Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:
$$ ax^6+bx^3+c = 0 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = x^3 \\ az^2+bz+c = 0 \end{array} \right.} $$
$$ ax+b \sqrt{x}+c = 0 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = \sqrt{x} \ge 0 \\ az^2+bz+c = 0 \end{array} \right.} $$
И, в общем виде, для любой рациональной степени n:
$$ ax^{2n}+bx^n+c = 0 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = x^n \\ az^2+bz+c = 0 \end{array} \right.} , n \in \Bbb Q $$
В других случаях замена переменной не настолько очевидна.
Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.
Например:
Решить уравнение: $x(x-1) = \frac{24}{(x-2)(x+1)} $
Раскроем скобки:$ x^2-x = \frac{24}{x^2-x-2}$. Сделаем замену:
$$ x^2-x = \frac{24}{x^2-x-2} \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = x^2-x \\ z = \frac{24}{z-2} \end{array} \right.} $$
$$ z = \frac{24}{z-2} \Rightarrow z(z-2) = 24 \Rightarrow z^2-2z-24 = 0 \Rightarrow (z-6)(z+4) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} z_1 = -4 \\ z_2 = 6 \end{array} \right.$$
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ \left[ \begin{array}{cc} x^2-x = -4 \\ x^2-x = 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x^2-x+4 = 0 \\ x^2-x-6 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} D \lt 0, x \in \varnothing \\ (x-3)(x+2) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -2 \\ x_2 = 3 \end{array} \right. $$
Ответ: {-2;3}
Внимание!
При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.
Выделение полного квадрата
Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:
$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$
Такое разложение не всегда возможно.
Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:
$$ ax^2+bx+c = \frac{4a(ax^2+bx+c)}{4a} = \frac{4a^2 x^2+4abx+4ac}{4a} = $$
$$ = \frac{(4a^2 x^2+4abx+b^2 )-b^2+4ac}{4a} = \frac{(2ax+b)^2}{4a} - \frac{b^2-4ac}{4a} = $$
$$ = \frac{(2a(x+\frac{b}{2a}) )^2}{4a} - \frac{b^2-4ac}{4a} = \frac{4a^2 (x+ \frac{b}{2a})^2}{4a} - \frac{b^2-4ac}{4a} = $$
$$ = a \Biggl(x+\frac{b}{2a} \Biggr)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a} = a \Biggl(x+ \frac{b}{2a} \Biggr)^2- \frac{D}{4a}, D = b^2-4ac $$
Нами выделен полный квадрат $(x+\frac{b}{2a})^2$.
Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).
А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D \ge 0$.
Например:
Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$
Выделим полный квадрат и разложим на множители:
$$ x^4+4x^2-1 = (x^4+4x^2+4)-5 = (x^2+2)^2-(\sqrt{5})^2 = $$
$$ = (x^2+2-\sqrt{5})(x^2+2+\sqrt{5}) $$
Ищем решение:
$$ \left[ \begin{array}{cc} x^2+2-\sqrt{5} = 0 \\ x^2+2+\sqrt{5} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x^2 = \sqrt{5} -2 \gt 0 \\ x^2 = -(2+\sqrt{5}) \lt 0 \end{array} \right. \Rightarrow x_1,2 = \pm \sqrt{\sqrt{5}-2} $$
Ответ: $\{ \pm \sqrt{\sqrt{5}-2} \}$
Примеры
Пример 1. Решите биквадратные уравнения:
а) $2x^4+7x^2-4 = 0$
Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = x^2 \ge 0 \\ 2z^2+7z-4 = 0 \end{array} \right.}$
Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$
$$ z = \frac{-7 \pm 9}{4} = \left[ \begin{array}{cc} z_1 = -4 \lt 0 \\ z_2 = \frac{1}{2} \gt 0 \end{array} \right. $$
Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:
$ x = \pm \sqrt{z} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $
Ответ: $\{\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \}$
б) $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0$
Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = (x+3)^2 \ge 0 \\ z^2-10z+24 = 0 \end{array} \right.}$
Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 \Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} z_1 = 4 \\ z_2 = 6 \end{array} \right.$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin{array}{cc} (x+3)^2 = 4 \\ (x+3)^2 = 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x+3 = \pm \sqrt{4} \\ x+3 = \pm \sqrt{6} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_{1,2} = -3 \pm 2 \\ x_{3,4} = -3 \pm \sqrt{6} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -5 \\ x_2 = -1 \\ x_{3,4} = -3 \pm \sqrt{6} \end{array} \right. $$
Ответ: $\{-5;-1;-3 \pm \sqrt{6} \}$
Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:
а) $x+4 \sqrt{x}-60 = 0$
Делаем замену: $x+4 \sqrt{x}-60 = 0 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = \sqrt{x} \ge 0 \\ z^2+4z-60 = 0 \end{array} \right.}$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 \Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} z_1 = -10 \\ z_2 = 6 \end{array} \right.$
Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:
$$ x = z^2 = 6^2 = 36 $$
Ответ: 36
б) $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0$
Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = (x-1)^3 \\ z^2-7z-8 = 0 \end{array} \right.}$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 \Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} z_1 = -1 \\ z_2 = 8 \end{array} \right.$
При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin{array}{cc} (x-1)^3 = -1 \\ (x-1)^3 = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x-1 = -1 \\ x-1 = 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 0 \\ x_2 = 3 \end{array} \right. $$
Ответ: {0;3}
Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:
а) $(x^2+6x)^2-(x+3)^2 = 33$
Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:
$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 \Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$
Делаем замену:
$$(x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = x^2+6x \\ z^2-z-42 = 0 \end{array} \right.}$$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 \Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} z_1 = -6 \\ z_2 = 7 \end{array} \right.$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin{array}{cc} x^2+6x = -6 \\ x^2+6x = 7 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x^2+6x+6 = 0 \\ x^2+6x-7=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} D = 12, x = \frac{-6 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \\ (x+7)(x-1) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{3} \\ x_3 = -7 \\ x_4 = 1 \end{array} \right. $$
Ответ: {-7;1;-3 $\pm \sqrt{3}$}
б) $ \frac{4}{x^2+3} + \frac{5}{x^2+4} = 2$
Делаем замену: $ \frac{4}{x^2+3} + \frac{5}{x^2+4} = 2 \iff \left[ \begin{array}{cc} z = x^2+3 \ge 3 \\ \frac{4}{z} + \frac{5}{z+1} = 2 \end{array} \right.$
Решаем уравнение относительно z:
$$ \frac{4}{z} + \frac{5}{z+1} = 2 \Rightarrow \frac{4(z+1)+5z}{z(z+1)} = \frac{2}{1} \Rightarrow 4(z+1)+5z = 2z(z+1) $$
$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 \Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$
$$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$
$$ z = \frac{7 \pm 9}{4} = \left[ \begin{array}{cc} z_1 = - \frac{1}{2} \lt 3 \\ z_2 = 4 \gt 3 \end{array} \right. $$
Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:
$$ x^2+3 = 4 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1$$
Ответ: { $\pm 1$}
Пример 4*. Решите уравнения:
а) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 945
Приведём это уравнение к биквадратному.
В линейных множителях (x+a) выберем все a = {1;3;5;7}
Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)
$$ a_{cp} = \frac{1+3+5+7}{4} = 4 $$
Замена переменных $z = x+a_{cp}$:
$$ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 945 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = x+4 \\ (z-3)(z-1)(z+1)(z+3) = 945 \end{array} \right.}$$
Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:
$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 \Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 \Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$
Получили биквадратное уравнение.
Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 \iff {\left\{ \begin{array}{c} t = z^2 \ge 0 \\ t^2-10t-936 = 0 \end{array} \right.} $
Решаем квадратное уравнение:
$$ D = 100+4 \cdot 936 = 3844 = 62^2, t = \frac{10 \pm 62}{2} = \left[ \begin{array}{cc} t_1 = -26 \lt 0 \\ t_2 = 36 \gt 0 \end{array} \right. $$
Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:
$$ z = \pm \sqrt{t} = \pm \sqrt{36} = \pm 6 $$
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ x = z-4 = \pm 6-4 = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -10 \\ x_2 = 2 \end{array} \right. $$
Ответ: {-10;2}
б) $ \frac{x^2+1}{x}- \frac{x}{x^2+1} = 2,1$
Замена переменных: $ \frac{x^2+1}{x}- \frac{x}{x^2+1} = 2,1 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = \frac{x^2+1}{x} \\ z- \frac{1}{z} = 2,1 \end{array} \right.} $
Решаем уравнение:
$$ z- \frac{1}{z} =2,1 |\times z (z \neq 0) $$
$$ z^2-2,1z-1 = 0 \Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = \frac{2,1 \pm 2,9}{2} = \left[ \begin{array}{cc} z_1 = -0,4 \\ z_2 = 2,5 \end{array} \right. $$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin{array}{cc} \frac{x^2+1}{x} = -0,4 \\ \frac{x^2+1}{x} = 2,5 \end{array} \right. \Rightarrow{x \neq 0} \left[ \begin{array}{cc} x^2+1 = -0,4x \\x^2+1 = 2,5x \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x^2+0,4x+1 = 0 \\ x^2-2,5x+1 = 0 \end{array} \right. $$
В первом уравнении $D = 0,4^2-4 \lt 0$, решений нет.
Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $\Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = \frac{1}{2} \\ x_2 = 2 \end{array} \right.$
Ответ: {$\frac{1}{2}$;2}
