Решение совокупностей неравенств с одной переменной

Понятие совокупности неравенств с одной переменной и его решения

Например: $\left[ \begin{array}{cc} x+7 \ge 2 \\ x-4 \lt 1 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x \ge -5 \\ x \lt 5 \end{array} \right. \iff x \in \Bbb R$ - любое действительное число

Об объединении числовых промежутков подробней см. §17 данного справочника

Алгоритм решения совокупности неравенств с одной переменной

Шаг 1. Найти множество решений для каждого из неравенств системы. Если какое-либо частное решение является пустым множеством, отбросить его, но продолжить решение.

Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных непустых частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать.

Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их объединение – это и будет общим решением совокупности.

Шаг 4. Работа завершена.

Например: $\left[ \begin{array}{cc} x-1 \lt 0 \\ x+5 \ge 8 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x \lt 1 \\ x \ge 3 \end{array} \right. \iff x \lt 1 \cup x \ge 3 или x \in (-\infty;1) \cup [3;+\infty) $

Сравнение систем и совокупностей неравенств

Неравенства могут образовывать сложные конструкции условий из вложенных систем и совокупностей. Раскрытие скобок при упрощении таких конструкций подчиняется законам логики и правилам операций над множествами (см. §10 данного справочника).

Примеры

Пример 1. Решите совокупности неравенств:

$ а) \left[ \begin{array}{cc} 5(x-1) \ge 4(x+2) \\ x \lt 0 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} 5x-4x \ge 8-5 \\ x \lt 0 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x \ge 3 \\ x \lt 0 \end{array} \right. \iff x \lt 0 \cup x \ge 3 $

$x \in (-\infty;0) \cup [3;+\infty) $

$ б) \left[ \begin{array}{cc} 2(x-5) \gt x-11 \\ x \gt -3 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} 2x-x \gt -11+10 \\ x \gt -3 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x \gt -1 \\ x \gt -3 \end{array} \right. \iff x \gt -3 $

$x \in (-3;+\infty) $

Пример 2. Решите неравенство:

$ а) (x+3)(x-5) \lt 0 $

Произведение слева будет отрицательным, если сомножители будут иметь разные знаки. Получаем совокупность двух систем неравенств:

$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \gt 0 \\ x-5 \lt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \lt 0 \\ x-5 \gt 0\end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \gt -3 \\ x \lt 5 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt -3 \\ x \gt 5 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} -3 \lt x \lt 5 \\ x \in \varnothing \end{array} \right. \iff -3 \lt x \lt 5 $

$ x \in (-3;5) $

$ б) (2x+3)(3x-2) \ge 0 $

Произведение слева будет положительным (или равным 0), если сомножители будут иметь одинаковые знаки (или равными 0).

Получаем совокупность двух систем неравенств:

$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \le 0 \\ 3x-2 \le 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1,5 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \le -1,5 \\ x \le \frac{2}{3} \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x \ge \frac{2}{3} \\ x \le -1,5 \end{array} \right. \iff x\le-1,5 \cup x\ge \frac{2}{3} $

$ x \in (-\infty;-1,5] \cup [\frac{2}{3};+\infty) $

Пример 3*. Решите неравенство: $(x^2+3x-4)(x^2+3x) \lt 0$

Замена переменных: $ {\left\{ \begin{array}{c} x^2+3x = t \\ (t-4)t \lt 0 \end{array} \right.}$

Для нижнего неравенства получаем совокупность:

$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} t-4 \gt 0 \\ t \lt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} t-4 \lt 0 \\ t \gt 0\end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} t \gt 4 \\ t \lt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} t \lt 4 \\ t \gt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} t \in \varnothing \\ 0 \lt t \lt 4 \end{array} \right. \iff 0 \lt t \lt 4 $

Возвращаемся к исходной переменной

$$ 0 \lt x^2+3x \lt 4 \iff {\left\{ \begin{array}{c} x^2+3x \gt 0 \\ x^2+3x \lt 4 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x^2+3x \gt 0 \\ x^2+3x-4 \lt 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x(x+3) \gt 0 \\ (x+4)(x-1) \lt 0 \end{array} \right.} \iff $$

$$ \iff {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 0 \\ x+3 \gt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 0 \\ x+3 \lt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+4 \gt 0 \\ x-1 \lt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x+4 \lt 0\\ x-1 \gt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 0 \\ x \gt -3\end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 0 \\ x \lt -3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \gt -4 \\ x \lt 1 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt -4 \\ x \gt 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} x \gt 0 \\ x \lt -3 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} -4 \lt x \lt 1 \\ x \in \varnothing \end{array} \right. \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \lt -3 \cup x \gt 0 \\ -4 \lt x \lt 1 \end{array} \right.} \iff $$

$$ \iff -4 \lt x \lt -3 \cup 0 \lt x \lt 1 $$

$x \in (-4;-3) \cup (0;1)$

В 9 классе для решения подобных неравенств будет предложен очень эффективный метод интервалов, который позволяет значительно упростить ход решения.