Решение неравенств с одной переменной

Понятие решения неравенства с одной переменной

При решении неравенств используются свойства неравенств (см. §36 этого справочника), из которых следует:

• если перенести какое-либо слагаемое неравенства в другую часть, знак неравенства не изменится;
• если разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, знак не изменится; при делении на одно и то же отрицательное число знак нужно поменять.

Например: Решить неравенство $5x-12 \gt 3x+4$

Получаем ответ: $x \gt 8 или x \in (8;+\infty)$

Ответом является бесконечное множество решений – все действительные числа больше 8. Эти решения образуют открытый луч (см. §16 данного справочника)

Изображение множества решений неравенства с одной переменной на числовой прямой

Подробно о числовой прямой и видах числовых промежутков на ней рассказано в §16 данного справочника. Здесь мы изобразим числовые промежутки как решения неравенств на более простых примерах.

Отрезок
	$3 \le x \le 5 или x \in [3;5]$
Интервал
	$3 \lt x \lt 5 или x \in (3;5)$
Полуинтервал
	$3 \lt x \le 5 или x \in (3;5]$
	$3 \le x \lt 5 или x \in [3;5)$
Луч
	$x \ge 3 или x \in [3, +\infty)$
	$x \le 5 или x \in (-\infty,5]$
Открытый луч
	$x \gt 3 или x \in (3,+\infty)$
	$x \lt 5 или x \in (-\infty,5)$

Примеры

Пример 1. Решите неравенство, изобразите множество его решений на числовой прямой, укажите вид полученного числового промежутка:

$а) 2x+4 \ge 3x-8$

$2x-3x \ge -8-4 $

$-x \ge -12 |:(-1) $

$x \le 12 или x \in (-\infty;12]$ – луч

$б) 5(x+2) \lt 8(x-1)$

$5x+10 \lt 8x-8 $

$5x-8x \lt -8-10$

$-3x \lt -18 |:(-3)$

$x \gt 6 или x \in (6;+ \infty)$ - открытый луч

$в) \frac{x+2}{2} - \frac{x+3}{5} \le 1 | \times 10$

$5(x+2)-2(x+3) \le 10 $

$5x-2x \le 10-10+6$

$3x \le 6 |:3$

$x \le 2 или x \in (-\infty;2]$ – луч

$г) x^2 \ge (x-3)(x+2)+10$

$x^2 \ge x^2-x-6+10 $

$x \ge 4 или x \in [4;+ \infty)$- луч

Пример 2. Длина стороны прямоугольника 7 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 5 см?

Пусть x неизвестная сторона прямоугольника.

Периметр прямоугольника: $P_{rec} = 2(7+x)$

Периметр квадрата: $P_{sq} = 4 \cdot 5 = 20$

По условию:

$$ 2(7+x) \lt 20 |:2 $$

$$ 7+x \lt 10 $$

$$ x \lt 3 $$

Т.к. речь идёт о стороне прямоугольника, которая не может быть равной 0 или отрицательной, получаем: $0 \lt x \lt 3$ (см)

Ответ: $0 \lt x \lt 3$ см

Пример 3. Турист отправился на моторной лодке по течению реки и должен вернуться обратно не позже, чем через 5 часов. На какое расстояние может отъехать турист, если скорость течения 3 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 15 км/ч.

Заполним таблицу:

По условию:

$$\frac{s}{18} + \frac{s}{12} \le 5 | \times 36 $$

$$ 2s+3s \le 180 $$

$$ 5s \le 180 $$

$$ s \le 36 $$

Турист не должен отъезжать дальше, чем на 36 км.

Ответ: не более 36 км.