Решение неполных квадратных уравнений

Квадратное уравнение и неполное квадратное уравнение

Например: $2x^2+3x+8 = 0, x^2 = 3x+4, 2x+1 = x^2$

Например: $3x^2 = 0, x^2+7x = 0, 9x^2 = 8$

Алгоритмы решения неполных квадратных уравнений

Во всех уравнениях $a ≠ 0$.

Уравнение вида $ax^2 = 0$

$$ ax^2 = 0 \iff x^2 = 0 \iff x = 0 $$

Уравнение имеет одно решение x = 0.

Например:

$ 1) 9x^2 = 0 \iff x = 0 $

$ 2) (x-1)^2 = 0 \iff x-1 = 0 \iff x = 1 $

Уравнение вида $ax^2+bx = 0$

$$ ax^2+bx = 0 \iff x(ax+b) = 0 \iff \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 0 \\ x_2 = -\frac{b}{a} \end{array} \right. $$

Уравнение имеет два решения $x_1 = 0 и x_2 = -\frac{b}{a}$.

Например:

$ 1) 5x^2+2x = 0 \iff x(5x+2) = 0 \iff \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 0 \\ x_2 = -\frac{2}{5} \end{array} \right. $

$ 2) (x-2)^2+3(x-2) = 0 \iff (x-2)(x-2+3) = 0 \iff (x-2)(x+1) = 0$

$\iff \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 0 \\ x_2 = -1 \end{array} \right. $

Уравнение вида $ax^2+c = 0$

$$ ax^2+c = 0 \iff x^2 = -\frac{c}{a} \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} -\frac{c}{a} \ge 0 \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} -\frac{c}{a} \lt 0 \\ x \in \varnothing \end{array} \right.} \end{array} \right. $$

В этом случае, если $-\frac{c}{a} \ge 0$, уравнение имеет два корня: $x_{1,2} =\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$

Если же $-\frac{c}{a} \lt 0$, т.к. квадрат числа не может быть отрицательным, корней нет.

Например:

1)$ x^2+5 = 0 \iff x^2 = -5 \iff x \in \varnothing$, решений нет

2)$ (x-8)^2-4 = 0 \iff (x-8)^2-2^2 = 0 \iff (x-8-2)(x-8+2) = 0$

$$ \iff (x-10)(x-6) = 0 \iff \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 10 \\ x_2 = 6 \end{array} \right. $$

Второй способ решения:

$$ (x-8)^2-4 = 0 \iff (x-8)^2 = 4 \iff x-8 = \pm \sqrt{4} \iff x = 8 \pm 2 \iff \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 10 \\ x_2 = 6 \end{array} \right. $$

Примеры

Пример 1. Решите уравнения:

$ а) 3(x-1)^2 = 0$

$$ 3(x-1)^2 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 $$

$ б) (x-4)^2 = 1 $

$$ (x-4)^2-1 = 0 \Rightarrow (x-4-1)(x-4+1) = 0 \Rightarrow (x-5)(x-3) = 0 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 5 \\ x_2 = 3 \end{array} \right. $$

Второй способ решения:

$$ (x-4)^2 = 1 \Rightarrow x-4 = \pm \sqrt{1} \Rightarrow x = 4 \pm 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 5 \\ x_2 = 3 \end{array} \right. $$

$в) (x+1)^2+(x+1) = 0$

$$ (x+1)((x+1)+1) = 0 \Rightarrow (x+1)(x+2) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -1 \\ x_2 = -2 \end{array} \right. $$

$г) 3(x-3)^2+9(x-3) = 0$

$$(x-3)(3(x-3)+9) = 0 \Rightarrow (x-3)(3x-9+9) = 0 \Rightarrow 3x(x-3) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 0 \\ x_2 = 3 \end{array} \right. $$

Пример 2*. Решите уравнения:

$ a) x^2-3|x| = 0 $

$ |x|(|x|-3) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} |x| = 0 \\ |x| = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 0 \\ x_2 = -3 \\ x_3 = 3 \end{array} \right. $

$ б) \frac{x^3}{|x|} -16 = 0 $

$$ \frac{x^3}{|x|} = \frac{x}{|x|} \cdot x^2 = \left[ \begin{array}{cc} x^2, x \gt 0 \\ -x^2, x \lt 0 \end{array} \right. $$

$$ \frac{x^3}{|x|}-16 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x^2-16=0, x \gt 0 \\ -x^2-16 = 0, x \lt 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x^2 = 16, x \gt 0 \\ x^2 = -16, x \lt 0 \end{array} \right. \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x = \pm 4, x \gt 0 \\ x \in \varnothing, x \lt 0 \lt 0 \end{array} \right. \Rightarrow x = 4 $$

Пример 3. При каких значениях коэффициента b число -2 является корнем уравнения:

$а) x^2+bx-6 = 0 $

Подставим x = -2 в уравнение:

$$ (-2)^2+b(-2)-6 = 0 \Rightarrow 4-2a-6 = 0 \Rightarrow -2b = 2 \Rightarrow b = -1 $$

$ б) 2x^2+bx+3 = 0 $

Подставим x = -2 в уравнение:

$$ 2(-2)^2+b(-2)+3 = 0 \Rightarrow 8-2b+3 = 0 \Rightarrow -2b = -11 \Rightarrow b = 5,5 $$

Пример 4. При каких значениях коэффициентов a и b числа 1 и 4 являются корнями уравнения:

$ а) ax^2+bx+8 = 0 $

Подставляем x = 1 и x = 4 в уравнение и получаем систему:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+b+8 = 0 \\ 16a+4b+8 = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a+b = -8 \\ 4a+b = -2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3a = 6 \\ b = -a-8 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 2 \\ b = -10 \end{array} \right.} $$

$б) ax^2+bx+5 = 0$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+b+5 = 0 \\ 16a+4b+5 = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a+b = -5 \\ 4a+b = -1 \frac{1}{4} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3a = 3 \frac{3}{4} \\ b = -a-5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \frac{1}{4} \\ b = -6 \frac{1}{4} \end{array} \right.} $$

(О решении системы двух линейных уравнений – см.§43 справочника для 7 класса)