Решение дробных рациональных уравнений

Понятие дробного рационального уравнения

Например:

$$ x^2+1 = \frac{2}{2-x}, \frac{1}{5x+12} - \frac{1}{5x-12} = \frac{1}{x^2}, x+ \frac{2}{x} = x^2+ \frac{4}{x^2} +2 $$

Алгоритм решения дробного рационального уравнения

Шаг 1. Привести по отдельности левую и правую части уравнения к их общим знаменателям.

Шаг 2. Используя свойство пропорции

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff {\left\{ \begin{array}{c} ad = bc \\ b \neq 0 \\ d \neq 0 \end{array} \right.} $$

перейти к целому рациональному уравнению с условиями $\neq$ 0 для знаменателей.

Шаг 3. Решить полученное целое рациональное уравнение.

Шаг 4. Проверить и отбросить те корни целого рационального уравнения, которые превращают знаменатели исходного дробного уравнения в 0.

Шаг 5. Записать оставшиеся корни в ответ. Работа завершена.

Также, при решении дробных рациональных уравнений на шаге 1 и шаге 3 часто используются методы замены переменной, разложении на множители и т.п. (см. §30 данного справочника).

Например:

Решить уравнение $ \frac{1}{5x+12} - \frac{1}{5x-12} = \frac{1}{x^2} $

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю: $ \frac{5x-12-(5x+12)}{(5x+12)(5x-12)} = \frac{1}{x^2} \Rightarrow \frac{-24}{25x^2-144} = \frac{1}{x^2} $

Шаг 2. Переходим к целому уравнению:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 25x^2-144 = -24x^2 \\ x \neq 0, x \neq \pm \frac{12}{5} \end{array} \right.} $$

Шаг 3. Решаем: $49x^2 = 144 \Rightarrow x^2= \frac{144}{49} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{144}{49}} \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1 \frac{5}{7}$

Шаг 4. Полученные корни входят в ОДЗ (не превращают знаменатели в 0).

Шаг 5. Ответ: $x_{1,2} = \pm 1 \frac{5}{7}$

Примеры

Пример 1. Решите уравнения:

$ а) \frac{x+1}{x-4} = \frac{x+5}{x-3}+1$

$$ \frac{x+1}{x-4} = \frac{x+5+(x-3)}{x-3} \Rightarrow \frac{x+1}{x-4} = \frac{2x+2}{x-3} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} (x+1)(x-3) = (2x+2)(x-4) \\ x \neq 3, x \neq 4 \end{array} \right.} $$

$$ x^2-2x-3 = 2x^2-6x-8 \Rightarrow x^2-4x-5 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+1) = 0 $$

$$ \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -1 \\ x_2 = 5 \end{array} \right. $$

Оба корня подходят.

Ответ: {-1;5}

$ б) \frac{1}{x+2}+ \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x} $

$$ \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x+2)(x-2)} $$

$$ \frac{x(x-2)+x+2}{x(x+2)(x-2)} = \frac{8}{x(x+2)(x-2)} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x^2-x+2 = 8 \\ x \neq 0, x \neq \pm 2 \end{array} \right.} $$

$$ x^2-x-6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -2 \\ x_2 = 3 \end{array} \right. $$

Корень (-2) не подходит. Остаётся x = 3.

Ответ: 3

Пример 2. При каком x

а) сумма дробей $ \frac{12}{x+1}$ и $ \frac{x+5}{x-3}$ равна их произведению?

$$ \frac{12}{x+1} + \frac{x+5}{x-3} = \frac{12}{x+1} \cdot \frac{x+5}{x-3} $$

$$ \frac{12(x-3) + (x+1)(x+5)}{(x+1)(x-3)} = \frac{12(x+5)}{(x+1)(x-3)} $$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 12x-36+x^2+6x+5 = 12x+60 \\ x \neq -1, x \neq 3 \end{array} \right.} $$

$$ x^2+6x-91 = 0 $$

$$ D = 6^2-4 \cdot (-91) = 400 = 20^2, x = \frac{-6 \pm 20}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -13 \\ x_2 = 7 \end{array} \right. $$

Оба корня подходят.

Ответ: {-13;7}

б) разность дробей $\frac{9}{x-5}$ и $ \frac{21}{x}$ равна их частному?

$$ \frac{9}{x-5} - \frac{21}{x} = \frac{9}{x-5}:\frac{21}{x} $$

$$ \frac{9x-21(x-5)}{x(x-5)} = \frac{9x}{21(x-5)} $$

$$ \frac{9x-21(x-5)}{x(x-5)} = \frac{3x}{7(x-5)} $$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 7(9x-21(x-5) ) = 3x^2\\ x \neq 0, x \neq 5 \end{array} \right.}$$

$$ -84x+735 = 3x^2 |:3 $$

$$ x^2+28x-245 = 0 $$

$$ D = 28^2-4 \cdot (-245) = 784+980 = 1764 = 42^2 $$

$$ x = \frac{-28 \pm 42}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -35 \\ x_2 = 7 \end{array} \right.$$

Оба корня подходят.

Ответ: {-35;7}

Пример 3*. Решите уравнение:

а) $x+ \frac{2}{x} = x^2+ \frac{4}{x^2} -2$

Заметим, что

$$ \Biggl(x+ \frac{2}{x} \Biggr)^2 = x^2+2x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = x^2+ \frac{4}{x^2} +4 $$

Замена переменных:

$$ x+ \frac{2}{x} = x^2+\frac{4}{x^2} -2 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = x+\frac{2}{x} \\ z = z^2-6 \end{array} \right.} $$

$$ z = z^2-6 \Rightarrow z^2-z-6 = 0 \Rightarrow (z+2)(z-3) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} z_1 = -2 \\ z_2 = 3 \end{array} \right. $$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной:

$$ \left[ \begin{array}{cc} x+ \frac{2}{x} = -2 \\ x+\frac{2}{x} = 3 \end{array} \right. \overset{x \neq 0} \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x^2+2x+2 = 0 \\ x^2-3x+2 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} D = -4 \lt 0, x \in \varnothing \\ (x-1)(x-2) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 1 \\ x_2 = 2 \end{array} \right. $$

Ответ: {1;2}

б) $ \frac{5(x-2)(x-3)(x-5)}{(2x+3)(x+1)(x+3)} = -1 $

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 5(x-2)(x-3)(x-5) = -(2x+3)(x+1)(x+3) \\ x \neq -\frac{3}{2}, x \neq -1, x \neq -3 \end{array} \right.} $$

$$5(x-2)(x^2-8x+15) = -(2x+3)(x^2+4x+3) $$

$$ 5(x^3-8x^2+15x-2x^2+16x-30) = -(2x^3+8x^2+6x+3x^2+12x+9) $$

$$ 5x^3-50x^2+155x-150 = -2x^3-11x^2-18x-9 $$

$$ 7x^3-39x^2+173x-141 = 0 $$

Корень можно угадать: при x = 1 получается 7-39+173-141 ≡ 0

Делим кубический многочлен на (x-1):

$$ \frac{7x^3-39x^2+173x-141}{x-1} = \frac{(7x^3-7x^2 )-32x^2+173x-141}{x-1} = $$

$$ = \frac{7x^2 (x-1)}{x-1} - \frac{32x^2-173x+141}{x-1} = 7x^2- \frac{(32x^2-32x)-141x+141}{x-1} = $$

$$ = 7x^2 - \frac{ 32x(x-1)}{x-1} - \frac{141(x-1)}{x-1} = 7x^2-32x-141 $$

Получаем:

$$ 7x^3-39x^2+173x-141 = (x-1)(7x^2-32x-141) $$

Решаем:

$$ 7x^2-32x-141 = 0 $$

$$D = 35^2-4 \cdot 7 \cdot (-141) = 1225+3948 = 5173 $$

$$ x = \frac{32 \pm \sqrt{5173}}{14} $$

Все три корня $x_1 = 1, x_{2,3} = \frac{32 \pm \sqrt{5173}}{14}$ подходят.

Ответ: $\{1; \frac{32 \pm \sqrt{5173}}{14}\}$