Разложение квадратного трёхчлена на множители
Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители с помощью дискриминанта
Данный алгоритм является универсальным.
На входе: квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$
Задача: разложить трёхчлен на множители
Шаг 1. Находим дискриминант $D = b^2-4ac$
Шаг 2. Если $D \gt 0, x_1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $ и $ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 )$
Если D = 0, $x_0 = - \frac{b}{2a}$ и $ax^2+bx+c = a(x-x_0 )^2$
Если $D \lt 0$, разложение на множители невозможно.
Шаг 3. Работа завершена.
Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители по теореме Виета
Данный алгоритм применяется в частных случаях.
Если один (или оба) корня квадратного уравнения целые, то полезным навыком становится разложение на множители «в уме», с помощью теоремы Виета.
Навык этот не простой, и если у вас сразу не получится, не расстраивайтесь.
Рассмотрим следующий трёхчлен: $x^2+8x+15$
b = 8, c = 15
Если корни трёхчлена существуют, то их произведение равно 15.
Прикинем «в уме» соответствующие пары натуральных чисел:
(1;15),(3;5)
В трёхчлене $c \gt 0$, значит корни одного знака, и в построении b участвует сумма этих корней. Из пары (1;15) сумма 8 не выходит, а вот из пары (3;5) - получается.
Для выбранной пары (3;5) запишем разложение, пока без знаков:
$$ (x…3)(x…5) = x^2+8x+15 $$
Теперь видно, что знаки в скобках – два плюса:
$$ (x+3)(x+5) = x^2+8x+15 $$
Разложение найдено.
Рассмотрим другой трёхчлен: $x^2+2x-35$
b = 2, c = -35
Пары натуральных чисел, дающие произведение 35:
(1;35),(5;7)
В трёхчлене $c \lt 0$, значит корни разных знаков, и в построении b участвует разность этих корней. Из пары (1;35) разность 2 не выходит, а вот из пары (5;7) - получается.
Для выбранной пары (5;7) запишем разложение, пока без знаков:
$$ (x…5)(x…7) = x^2+2x-35 $$
Теперь видно, что 7 должно быть с плюсом, а 5 – с минусом:
$$ (x-5)(x+7) = x^2+2x-35 $$
Разложение найдено.
Обобщим алгоритм разложения по теореме Виета.
На входе: приведенный квадратный трёхчлен $x^2+bx+c$
Задача: разложить трёхчлен на множители при гипотезе, что корни - целочисленные
Шаг 1. Записать все пары натуральных чисел (m;n), дающих в произведении c.
Шаг 2. Если $c \gt 0$, то из всех пар выбрать ту, сумма которой даёт b.
Если $c \lt 0$, то из всех пар выбрать ту, разность которой даёт b.
Если выбрать пару не удаётся, данный алгоритм не подходит, и нужно приступить к разложению с помощью дискриминанта.
Шаг 3. Для выбранной пары записать разложение без знаков в виде:
$$ (x…m)(x…n) = x^2+bx+c $$
Сопоставляя левую и правую части, окончательно расставить знаки в скобках.
Шаг 4. Работа завершена.
Внимание!
Предложенный алгоритм позволяет не только раскладывать на линейные множители трёхчлены, но и находить их корни, т.е. решать соответствующие квадратные уравнения.
Не забывайте менять знаки при записи решений уравнения!
Например:
Решаем $x^2+8x+15 = 0$. Получаем (x+3)(x+5) = 0. Корни $x_1 = -3, x_2 = -5$.
Решаем $x^2+2x-35 = 0$. Получаем (x-5)(x+7) = 0. Корни $x_1 = 5, x_2 = -7$.
При некотором опыте, можно наловчиться раскладывать не только приведенные трёхчлены, например:
$$ 5x^2-14x-3 = (5x+1)(x-3), 3x^2+13x-10 = (3x-2)(x+5), $$
$$ 6x^2+7x-3 = (3x-1)(2x+3) $$
В этих случаях алгоритм усложняется за счёт дополнительных вариантов расстановки коэффициентов при переменной в скобках.
Примеры
Пример 1. Разложите квадратный трёхчлен с помощью дискриминанта:
$а) 2x^2+7x-4$
$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $
$ x = \frac{-7 \pm 9}{4} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -4 \\ x_2 = \frac{1}{2} \end{array} \right. $
Получаем: $2x^2+7x-4 = 2(x+4) \left(x- \frac{1}{2} \right)$
Можно также записать: $2x^2+7x-4 = (x+4)(2x-1)$
$б) 3x^2+20x-7$
$ D = 20^2-4 \cdot 3 \cdot (-7) = 400+84 = 484 = 22^2 $
$x = \frac{-20 \pm 22}{6} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -7 \\ x_2 = \frac{1}{3} \end{array} \right.$
Получаем: $3x^2+20x-7 = 3(x+7) \left(x-\frac{1}{3} \right)$
Можно также записать: $3x^2+20x-7 = (x+7)(3x-1)$
$в) 4x^2-19x-5$
$D = 19^2-4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361+80 = 441 = 21^2$
$ x = \frac{19 \pm 21}{8} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -\frac{1}{4} \\ x_2 = 5 \end{array} \right.$
Получаем: $4x^2-19x-5 = 4 \left(x+ \frac{1}{4} \right)(x-5)$
Можно также записать: $4x^2-19x-5 = (4x+1)(x-5)$
$г*) x^2- \sqrt{2}x+ \frac{1}{2}$
$ D = (\sqrt{2})^2-4 \cdot \frac{1}{2} = 2-2 = 0, x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Получаем: $x^2-\sqrt{2} x+ \frac{1}{2} = \left(x- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 $
Пример 2*. Разложите трёхчлены на множители подбором по теореме Виета:
$а) x^2+7x+12$
Пары множителей: (1;12),(2;6),(3;4)
$c = 12 \gt 0 \Rightarrow$ выбираем из пар ту, что в сумме дает b = 7. Это пара (3;4).
Записываем разложение без знаков: $(x…3)(x…4) = x^2+7x+12$
Расставляем знаки, результат: $x^2+7x+12 = (x+3)(x+4)$
$б) x^2+3x-18$
Пары множителей: (1;18),(2;9),(3;6)
$c = -18 \lt 0 \Rightarrow$ выбираем из пар ту, разность которой дает b = 3. Это пара (3;6).
Записываем разложение без знаков: $(x…3)(x…6) = x^2+3x-18$
Расставляем знаки, результат: $x^2+3x-18 = (x-3)(x+6)$
в) x+4x-77
Пары множителей: (1;77),(7;11)
$c = -18 \lt 0 \Rightarrow$ выбираем из пар ту, разность которой дает b=4. Это пара (7;11).
Записываем разложение без знаков: $(x…7)(x…11) = x^2+4x-77$
Расставляем знаки, результат: $x^2+4x-77 = (x-7)(x+11)$
$г*) 2x^2-x-3$
Одна пара множителей (1;3)
Возможные разложения с коэффициентом:
$$ (2x…1)(x…3) = 2x^2-x-3, (2x…3)(x…1) = 2x^2-x-3 $$
$c = -3 \lt 0$, в скобках разные знаки.
Перебираем четыре возможных варианта и получаем:
$$2x^2-x-3 = (2x+3)(x-1) = 2 \left(x+ \frac{3}{2} \right)(x-1)$$
Пример 3. Сократите дробь.
Разложение на множители проводим по формулам сокращенного умножения, с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
а) $$ \frac{x^2-16}{x^2+11x+28} = \frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)(x+7)} = \frac{x-4}{x+7}$$
б) $$ \frac{x^2-2x-15}{x^2-10x+25} = \frac{(x-5)(x+3)}{(x-5)^2} = \frac{x+3}{x-5}$$
в) $$ \frac{3y^2-5y+2}{3y^2-y-2} = \frac{(3y-2)(y-1)}{(3y+2)(y-1)} = \frac{3y-2}{3y+2}$$
г)$$ \frac{2y^2-3y+1}{3y^2-4y+1} = \frac{(2y-1)(y-1)}{(3y-1)(y-1)} = \frac{2y-1}{3y-1}$$
Пример 4. Упростите выражение:
$$ \frac{x-16}{(x+2)^2} ∶ \left(\frac{3x+11}{(3x^2+17x+22)} - \frac{2}{x+2} \right) = \frac{x-16}{(x+2)^2} ∶ \left(\frac{3x+11}{(3x+11)(x+2)} - \frac{2}{x+2} \right) = $$
$$ = \frac{x-16}{(x+2)^2} ∶ \left(\frac{1}{x+2} - \frac{2}{x+2}\right) = \frac{x-16}{(x+2)^2} ∶ \left(-\frac{1}{x+2}\right) = -\frac{(x-16)(x+2)}{(x+2)^2} = $$
$$ =-\frac{x-16}{x+2} = \frac{16-x}{x+2}$$
