Растяжение и сжатие графиков функций

Список функций, изученных в 7 и 8 классе

Растяжение и сжатие графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), y_2 = f(px) $$

где $p \gt 1$, произвольный положительный множитель.

Пусть p = 2.

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $ $y_2 = y_1 при x_2 = \frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX
Гипербола: $ y_1 = f(x) = \frac{4}{x}$ $y_2 = f(2x) = \frac{4}{(2x)} = \frac{2}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = \frac{1}{2} x_1 $ График сжимается в 2 раза по оси OX
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x}$ $y_2 = f(2x) = \sqrt{2x}$ $y_2=y_1 при x_2 = \frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX

Теперь сравним пары функций с делением на p:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f \left( \frac{x}{p} \right), \quad p \gt 1 $$

Пусть p = 2

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f \left(\frac{x}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4} $ $y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX
Гипербола: $ y_1 = f(x) = \frac{4}{x}$ $y_2 = f \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{4}{x/2} = \frac{8}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x}$ $y_2 = f \left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{x}{2}}$ $y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Растяжение и сжатие графика по оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = Af(x) $$

где $A \gt 1$, произвольный положительный множитель.

Пусть A = 2.

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = 2f(x) = 2x^2 $ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY
Гипербола: $ y_1 = f(x) = \frac{4}{x}$ $y_2 = 2f(x) = \frac{8}{x}$ $ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x}$ $y_2 = 2f(x) = 2\sqrt{x}$ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY

Теперь сравним пары функций с делением на A:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = \frac{1}{A} f(x), \quad A \gt 1 $$

Пусть A = 2

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = \frac{1}{2}f(x) = \frac{x^2}{2}$ $y_2 = \frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY
Гипербола: $ y_1 = f(x) = \frac{4}{x}$ $y_2 = \frac{1}{2}f(x) = \frac{2}{x}$ $ y_2 = \frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x}$ $y_2 = \frac{1}{2}f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ $y_2 = \frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Примеры

Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

$$ y = \sqrt{x}, y = \sqrt{3x}, y = \sqrt{\frac{x}{3}}, y = 3\sqrt{x} $$

Сделайте выводы.

По сравнению с графиком $y = \sqrt{x}$:

• график функции $y = \sqrt{3x}$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
• график функции $y = \sqrt{\frac{x}{3}}$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
• график функции $y = 3\sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)

Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

$$ y = f(x), y = f(2x), y = f \Biggl(\frac{x}{2}\Biggr), y = 2f(x) $$

где $f(x) = x^2+3x+2$

Сделайте выводы.

Исходная функция $y = f(x) = x^2+3x+2$

Остальные функции

$$ y = f(2x) = (2x)^2+3 \cdot (2x)+2 = 4x^2+6x+2 $$

$$ y = f\Biggl(\frac{x}{2}\Biggr) = \Biggl(\frac{x}{2}\Biggr)^2+3 \cdot \Biggl(\frac{x}{2}\Biggr) +2 = \frac{x^2}{4}+ \frac{3}{2} x+2 $$

$$ y = 2f(x) = 2x^2+6x+4 $$

Получаем:

По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2+3x+2$:

• график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
• график функции $y = f \left(\frac{x}{2}\right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
• график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)