Рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел
Понятие рационального числа
Рациональное число – это число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число:
$$ q = \frac{m}{n}, m \in \Bbb Z, n \in \Bbb N \iff q \in \Bbb Q $$
Множество рациональных чисел обозначается $\Bbb Q$.
Примеры рациональных чисел:
$$ 1 \frac{3}{5}; -7,1; 0; \frac{1}{3}; \frac{7}{4}; -2 $$
Любое рациональное число представимо в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби.
Например:
$$ \frac{1}{3} = 0,333 … = 0,(3); \frac{3}{7} = 0,(428571); \frac{3}{8} = 0,125 $$
Несократимая рациональная дробь m/n имеет конечное десятичное представление тогда и только тогда, когда простыми делителями числа n являются только 2 и 5 в различных степенях: $n = 2^a \cdot 5^b, a, b \ge 0$
Например:
$$ \frac{7}{125} = 0,056; \frac{11}{20} = 0,55; \frac{127}{625} = 0,2032; \frac{9}{16} = 0,5625 $$
Алгоритм перевода десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь
Шаг 1. Для чистой периодической дроби - в числителе записать период дроби. Для смешанной периодической дроби – в числителе записать всю дробную часть и вычесть из неё число, полученное из цифр до периода.
Шаг 2. Для чистой периодической дроби - в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде.
Для смешанной периодической дроби – в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде и справа дописать столько нулей, сколько цифр в дробной части до периода.
Шаг 3. Если необходимо, сократить полученную дробь
Например:
Чистые периодические дроби:
$$ 0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}, 1,(15) = 1 + \frac{15}{99} = 1 \frac{5}{33} $$
Смешанные периодические дроби:
$$ 2,6(543) = 2+ \frac{6543-6}{9990} = 2 + \frac{6537}{9990} = 2 \frac{2179}{3330} $$
$$ 5,0(13) = 5+ \frac{13-0}{990} = 5 \frac{13}{990}$$
Множество рациональных чисел счётно, т.е. эквивалентно множеству натуральных чисел: $ \Bbb Q \sim \Bbb N$ (см. §11 данного справочника)
Слева – схема подсчёта всех положительных рациональных чисел (взаимно однозначное соответствие между элементами множеств $ \Bbb Q_+ и \Bbb N$)
Множество рациональных чисел замкнуто, относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (исключая деление на 0). В алгебре говорят, что рациональные числа образуют поле.
Иррациональные числа
Иррациональное число – это число, которое нельзя представить обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Множество иррациональных чисел обозначается $\mathbb I $.
Примеры иррациональных чисел:
$$ \sqrt 2; - \sqrt[3] 7; π; sin 20^0; e^5; ln7; 0,01001000100001… $$
Множество иррациональных чисел не замкнуто относительно операции сложения.
Например, результатом суммы: $\frac{1}{1+\sqrt 2} + \frac{1}{1-\sqrt 2} = \frac{1-\sqrt 2+1+ \sqrt 2}{(1+ \sqrt 2)(1- \sqrt 2)} = \frac{2}{1-2}$ =-2 будет целое число.
Иррациональные числа можно приблизительно записывать десятичными дробями или приближать рациональными дробями. Например, для $ \sqrt 2$ можем записать:
$$ 1 \lt \sqrt 2 \lt 2 $$
$$ \frac{14}{10} \lt \sqrt 2 \lt \frac{15}{10} $$
$$ \frac{141}{100} \lt \sqrt 2 \lt \frac{142}{100} $$
$$ \frac{1414}{1000} \lt \sqrt 2 \lt \frac{1415}{1000} и т.д. $$
Число $ π \approx 3 $,14 или $π \approx \frac{22}{7}$ или $π ≈ \frac{355}{113}$ - с разной точностью.
Мера иррациональности действительного числа a – действительное число μ, которое показывает, насколько хорошо число a может быть приближено рациональными числами.
$μ(a) = 1 \iff a$ – рациональное число
$ μ(a) = 2 \Leftarrow a $ – алгебраическое иррациональное число
$ μ(a) \ge 2 \Leftarrow a $ – трансцендентное число
Для многих трансцендентных чисел мера иррациональности неизвестна, есть только верхняя оценка.
Например:
$$ μ(e) = 2, μ(π) \le 7,6063 $$
Алгебраические и трансцендентные числа
Если действительное число является корнем уравнения вида
$$ c_n x^n+c_{n-1} x^{n-1}+⋯+c_1 x+c_0 = 0 $$с целыми коэффициентами $ c_i \in \Bbb Z$, такое число называется алгебраическим.
Если действительное число не является корнем никакого такого уравнения с целыми коэффициентами, число называется трансцендентным.
Например:
$$ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2, x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt 2, x^3 = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 $$
$$ \pm 2, \pm √2, \sqrt[3] 2 $$ - алгебраические числа. При этом, первая пара является рациональными числами, остальные числа – иррациональные.
Примеры алгебраических чисел: $3,5 \frac{1}{5}, \sqrt 3, \sqrt{5+\sqrt 2}, \sqrt{1+ \sqrt{5- \sqrt 2}}, \sqrt[5]21$
Алгебраические числа бывают рациональными и иррациональными.
Примеры трансцендентных чисел:$ π,2^{\sqrt2}, sin10^0, e^4$
Все трансцендентные числа иррациональны.
Множество алгебраических чисел бесконечно и счётно, т.е. эквивалентно множеству натуральных чисел.
Множество алгебраических чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (исключая деление на 0). В алгебре говорят, что алгебраические числа образуют поле.
Множество трансцендентных чисел несчётно.
Т.е., трансцендентных чисел «больше», чем алгебраических. Их слишком много, чтобы можно было представить в виде последовательности.
Структура множества действительных чисел
Из-за несовпадения подмножеств, структуру множества действительных чисел можно представить двумя равносильными схемами:
$$ \Bbb R = \Bbb Q \cup \Bbb I = \Bbb A \cup \Bbb T $$
$$ \Bbb R = \Bbb A \cup \Bbb T = \Bbb Q \cup \Bbb I $$
Множество действительных чисел несчётно.
Множество действительных чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (исключая деление на 0).
Множество действительных чисел упорядочено. Для любых двух действительных чисел a и b можно установить отношение: либо $a \lt b$, либо a = b, либо $a \gt b$.
В алгебре говорят, что действительные числа образуют непрерывное упорядоченное поле.
Примеры
Пример 1. Найдите рациональные дроби, равные данным бесконечным периодическим десятичным дробям:
а) 0,222…
0,(2) = $\frac{2}{9}$
б) 5,18686…
$5,1(86) = 5+ \frac{186-1}{990} = 5 \frac{185}{990} = 5 \frac{37}{198}$
в) 0,35(29)
$0,35(29) = \frac{3529-35}{9900} = \frac{3494}{9900} = \frac{1747}{4950}$
г) 1,9(36)
$1,9(32) = 1+ \frac{936-9}{990} = 1 \frac{927}{990} = 1\frac{103}{110}$
Пример 2*. Докажите, что $ \sqrt 2$ не является рациональным числом.
Проведём доказательство от противного.
Допустим, что $ \sqrt 2$ - рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби: $ \sqrt 2 = \frac{a}{b}$, где числитель и знаменатель – целые числа. Т.к. дробь несократима, одно из чисел – чётное, второе – нечётное.
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$$ (\sqrt2)^2 = (\frac{a}{b})^2 \Rightarrow 2 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 2b^2 $$
Число $2b^2$ - чётное. Значит, $a^2$ - тоже чётное, и само число a - тоже чётное.
$$ a = 2k \Rightarrow a^2 = 4k^2 $$
$$ 4k^2 = 2b^2 \Rightarrow 2k^2 = b^2 $$
Число $2k^2$ - чётное. Значит, $b^2$ - тоже чётное, и само число b - тоже чётное.
Мы пришли к противоречию. Ведь для несократимой дроби a и b не могут быть одновременно чётными.
Значит, наше допущение неверно, и $ \sqrt 2$ нельзя представить в виде дроби $ \frac{a}{b}$.
Что и требовалось доказать.
Пример 3. Изобразите на координатной плоскости отрезки, равные по длине алгебраическим иррациональным числам:
а) a = $ \sqrt 2$
По теореме Пифагора:
$$a = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt 2 $$
б) a = $ \sqrt 5$
По теореме Пифагора:
$$a = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt 5 $$
в) a = $ \sqrt 13$
По теореме Пифагора:
$$a = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt 13 $$
г*) a = $ \sqrt 3$
По теореме Пифагора:
$$b = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt 2 $$
$$b = \sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2} = \sqrt 3 $$
