Приближённые формулы

Произведение двух чисел, близких к единице

При выведении формул для погрешностей произведения и частного (см. §45 данного справочника) мы использовали понятие «малых величин», влияние которых на результат настолько мало, что им можно пренебречь. Обычно они появляются в формулах как произведения небольших отклонений или степени отклонений. Их вклад в конечный результат «мал» в том смысле, что при округлении мы его всё равно отбрасываем.

Рассмотрим два числа x = 1+α, y = 1+β,

где |α|≪1,|β|≪1 - гораздо меньше единицы (сотые, тысячные и т.д.).

Найдём их произведение:

$$ xy = (1+α)(1+β) = 1+α+β+αβ $$

Произведение αβ $\approx$ 0 пренебрежимо мало, и мы получаем:

$$ (1+α)(1+β) \approx 1+α+β, \quad |α|≪1, |β|≪1 $$

Например:

$1,012 \cdot 1,004 \approx 1+0,012+0,004 = 1,016$ – значение по приближенной формуле

$1,012 \cdot 1,004 = 1,016048$ - точное значение

или

$0,997 \cdot 1,003 \approx 1-0,003+0,003 = 1,000$ – значение по приближенной формуле

$0,997 \cdot 1,003 = 0,999991$ - точное значение

Квадрат и другие степени числа, близкого к единице

Используя формулу для произведения двух чисел, близких к единице, получаем приближенную формулу для квадрата, куба и других степеней таких чисел:

$$ (1+α)^2 \approx 1+2α, \quad |α|≪1 $$

$$ (1+α)^3 \approx 1+3α, \quad(1+α)^n \approx 1+nα $$

Например:

При увеличении степени относительная погрешность возрастает, и точность вычислений падает.

Число, обратное числу, близкому к единице

Пусть $x = 1+α, \quad |α|≪1$

Найдём $\frac{1}{x}$:

$$ \frac{1}{x} = \frac{1}{1+α} = \frac{1-α}{(1+α)(1-α)} = \frac{1-α}{1- \underbrace{α^2}_{\approx \text{0}}} \approx 1-α $$

$$ \frac{1}{1+α} \approx 1-α, |α|≪1 $$

Например:

$ \frac{1}{1,001} \approx 1-0,001 = 0,999 $

Точное значение: $ \frac{1}{1,001}$ = 0,(999000) - периодическая бесконечная дробь

Квадратный корень из числа, близкого к единице

Из формулы для квадрата числа, близкого у единице, получаем:

$$ 1+α \approx \Biggl( 1+ \frac{a}{2} \Biggr)^2 \gt 0 $$

$$ \sqrt{1+α} \approx 1+ \frac{a}{2}, \quad |α|≪1 $$

Например:

$ \sqrt{1,0014} \approx 1+ \frac{0,0014}{2} = 1,0007 $

Вычисление на калькуляторе даёт: $\sqrt{1,0014}$ = 1,0006997551…

или

$ \sqrt{0,981} \approx 1- \frac{0,019}{2} = 0,9905 $

Вычисление на калькуляторе даёт: $\sqrt{0,981}$ = 0,990454441…

Обобщение приближённых формул

Формулы для чисел вида x = 1+α, |α|≪1, можно обобщить для чисел вида z = a+b, |b|≪|a|, т.к.

$$ |b|≪|a| \Rightarrow \frac{|b|}{|a|} ≪1 и \frac{z}{a} = \frac{a+b}{a} = 1+ \frac{b}{a} $$

Заменой $\frac{z}{a}$ = x, $\frac{b}{a}$ = α одни числа приводятся к другим.

Примеры

Пример 1. Найдите приближенное значение выражения.

Сравните со значением, полученным с помощью калькулятора.

Пример 2. Найдите приближенное значение выражения, используя обобщенные приближенные формулы. Сравните со значением, полученным с помощью калькулятора.