Преобразование двойных радикалов

Алгоритм решения уравнений с двойными радикалами

Решаем уравнение вида $ \sqrt{ax+b \sqrt{cx+d}} = e, a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$.

Шаг 1. Если $e \ge 0$, возвести в квадрат левую и правую части.

Если $e \lt 0$, решений нет, $x \in \varnothing$, перейти на шаг 5.

Шаг 2. $ax+b \sqrt{cx+d} = e^2 \Rightarrow \sqrt{cx+d} = \frac{e^2-ax}{b}$

Шаг 3. Возвести в квадрат левую и правую части

с условием, что правая часть неотрицательна:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} cx+d = (\frac{e^2-ax}{b})^2 \\ \frac{e^2-ax}{b} \ge 0 \end{array} \right.} $$

Шаг 4. Решить полученное квадратное уравнение (см. главу 4 данного справочника)

и проверить для корней условие $\frac{e^2-ax}{b} \ge 0$.

Шаг 5. Конец работы.

Преобразование выражений вида $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} $

Примеры

Пример 1. Решите уравнения:

$а) \sqrt{1+\sqrt{2}+\sqrt{x}} = 2$

Возводим в квадрат: $1+\sqrt{2}+\sqrt{x} = 4 \Rightarrow \sqrt{2+\sqrt{x}} =3$

Возводим в квадрат: $2+\sqrt{x} = 9 \Rightarrow \sqrt{x} = 7$

Возводим в квадрат: x = 49

Ответ: 49

$ б) \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} = 1 $

Возводим в квадрат: $x+2\sqrt{x-1} = 1 ⟹ 2\sqrt{x-1} = 1-x$

Замечаем, что по определению арифметического корня:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x-1 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x \ge 1 \\ x \le 1 \end{array} \right.} \Rightarrow x = 1 $$

Единственное возможное решение x=1. Подставляем: $ \sqrt{1+2\sqrt{1-1}} ≡ 1$

Решение подходит.

Ответ: 1

Пример 2. Вычислите:

$ а) \sqrt{9-\sqrt{17}} - \sqrt{9+\sqrt{17}} $

Способ 1

Пусть $\sqrt{9-\sqrt{17}} - \sqrt{9+\sqrt{17}}$ = A. Тогда $A^2$:

$$ A^2 = \Biggl( \sqrt{9-\sqrt{17}} - \sqrt{9+\sqrt{17}} \Biggr)^2 = 9 - \sqrt{17} - 2 \sqrt{(9-\sqrt{17})(9+\sqrt{17})} +9+\sqrt{17} = $$

$$ = 18-2 \sqrt{9^2-(\sqrt{17})^2} = 18-2 \cdot 8 = 2 $$

Исходное выражение: $A = \pm \sqrt{2}$.

Очевидно, что $\sqrt{9-\sqrt{17}} \lt \sqrt{9 + \sqrt{17}}$ и $A \lt 0$. Поэтому $A = - \sqrt{2}$.

Способ 2

Используем формулу преобразования двойных радикалов.

$$A = 9, B = 17 \Rightarrow C = A^2-B = 81-17 = 64 \Rightarrow \sqrt{C} = 8$$

$$ \sqrt{9-\sqrt{17}} = \sqrt{\frac{9+8}{2}} - \sqrt{\frac{9-8}{2}} = \sqrt{\frac{17}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{9+\sqrt{17}} = \sqrt{\frac{17}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}} $$

$$ \sqrt{9-\sqrt{17}} - \sqrt{9 + \sqrt{17}} = \sqrt{\frac{17}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} - \Biggl( \sqrt{\frac{17}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}\Biggr) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = - \sqrt{2} $$

Ответ: $- \sqrt{2}$

$ б) \frac{1}{\sqrt{(3-\sqrt{8}}+1} - \frac{1}{\sqrt{(3+\sqrt{8}}-1} $

Преобразуем выражение:

$$ \frac{1}{\sqrt{(3-\sqrt{8}}+1} - \frac{1}{\sqrt{(3+\sqrt{8}}-1} = \frac{\sqrt{3+\sqrt{8}}-1 - \Biggl(\sqrt{(3-\sqrt{8}}+1\Biggr)}{\Biggl(\sqrt{(3-\sqrt{8}}+1\Biggr) \Biggl(\sqrt{(3 + \sqrt{8}}-1\Biggr)} = $$

$$ = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{8}) -\sqrt{3}-\sqrt{8}) -2}{\underbrace{\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{8})(3+\sqrt{8})}}_{\sqrt{9-8} = 1}+\sqrt{3+\sqrt{8}} -\sqrt{3-\sqrt{8}} -1} = \frac{\sqrt{3+\sqrt{8}} -\sqrt{3-\sqrt{8}} -2}{\sqrt{3+\sqrt{8}} -\sqrt{3-\sqrt{8}}} $$

Пусть $\sqrt{3+\sqrt{8}} - \sqrt{3-\sqrt{8}} = A \gt 0$. Тогда:

$$ A^2 = 3+\sqrt{8}-2\sqrt{(3+\sqrt{8})(3-\sqrt{8})}+3-\sqrt{8} = 6-2 \sqrt{9-8} = 4 $$

$$ A \gt 0: A = \sqrt{4} = 2 $$

Подставляем: $ \frac{4-2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

Пример 3. Используя формулу преобразования двойных радикалов, упростите выражение:

а)$ \sqrt{2+\sqrt{3}} $

$$ A = 2, B = 3 \Rightarrow C = A^2-B = 4-3 = 1 \Rightarrow \sqrt{C} = 1 $$

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} + \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} $$

б) $\sqrt{7-2\sqrt{6}}$

$$ 2 \sqrt{6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24} $$

$$ A = 7, B = 24 \Rightarrow C = A^2-B = 49-24 = 25 \Rightarrow \sqrt{C} = 5 $$

$$ \sqrt{7-2 \sqrt{6}} = \sqrt{\frac{7+5}{2}} - \sqrt{\frac{7-5}{2}} = \sqrt{6}-1$$

в) $ \sqrt{11+4 \sqrt{7}} $

$$ 4\sqrt{7} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{112} $$

$$ A = 11, B = 112 \Rightarrow C = A^2-B = 121-112 = 9 \Rightarrow \sqrt{C} = 3 $$

$$ \sqrt{11+4 \sqrt{7}} = \sqrt{\frac{11+3}{2}} + \sqrt{\frac{11-3}{2}} = \sqrt{7}+2 $$

г) $ \sqrt{9+4 \sqrt{5}} $

$$ 4\sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80} $$

$$ A = 9, B = 80 \Rightarrow C = A^2-B = 81-80 = 1 \Rightarrow \sqrt{C} = 1 $$

$$ \sqrt{9+4 \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{9+1}{2}} + \sqrt{\frac{9-1}{2}} = \sqrt{5}+2 $$

д*) $\sqrt{a+\sqrt{a^2-b^2}}$

$$ A = a, B = a^2-b^2 \Rightarrow C = A^2-B = a^2-(a^2-b^2 ) = b^2 \Rightarrow \sqrt{C} = b $$

$$ \sqrt{a+\sqrt{a^2-b^2}} = \sqrt{\frac{a+b}{2}}+\sqrt{\frac{a-b}{2}} = \frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{2}} $$

Пример 4. Докажите равенство индийского математика Бхаскара (1114-1185):

$$ \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}} =\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} $$

Возведём в квадрат левую и правую части равенства. Для квадрата суммы трёх выражений используем формулу из §26 справочника для 7 класса.

$$ 10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60} = (\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$$

$$10+\sqrt{6 \cdot 4}+\sqrt{10 \cdot 4}+\sqrt{15 \cdot 4} = 2+3+5+2\sqrt{2 \cdot 3}+2\sqrt{2 \cdot 5}+2\sqrt{3 \cdot 5}$$

$$10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15} = 10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15} $$

Выражения слева и справа тождественно равны.

Что и требовалось доказать.

Пример 5*. Упростите выражение (задача Ж.Бертрана (1822-1900)):

$$ \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}} $$

Используем результат из примера 3(а):

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3+1}}{\sqrt{2}}, \sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} $$

Подставляем:

$$ \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+ \frac{\sqrt{3}}{1}/\sqrt{2}} + \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-(\sqrt{3}-1)/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (2+\sqrt{3})}{2+\sqrt{3}+1} + \frac{\sqrt{2} (2-\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{2} (2+\sqrt{3})}{\sqrt{3} (\sqrt{3}+1)} + \frac{\sqrt{2} (2-\sqrt{3})}{\sqrt{3} (\sqrt{3}-1)} $$

Заметим, что:

$$ (\sqrt{3}+1)^2 = 3+2\sqrt{3}+1 = 4+2\sqrt{3} = 2(2+\sqrt{3}) \Rightarrow 2+\sqrt{3} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2} $$

Аналогично: $ 2-\sqrt{3} = \frac{(\sqrt{3-1})^2}{2} $

Подставляем:

$$ \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3}+1)^2)}{2\sqrt{3} (\sqrt{3}+1) } + \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3}-1)^2}{2\sqrt{3} (\sqrt{3}-1)} = \frac{1}{\sqrt{6}} (\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1) = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{2} $$

Ответ: $\sqrt{2}$