Преобразование дробных рациональных выражений

Примеры

Дополнительные примеры на эту тему можно найти в §33 справочника для 7 класса.

Пример 1. Упростите выражение:

$ а) \frac{x^3-y^3}{x^2 y} : \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right) = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2 )}{x^2 y} : \left(\frac{x^2+y^2+xy}{xy}\right) = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2 )}{x^2 y} \cdot \frac{xy}{x^2+y^2+xy} = \frac{x-y}{x}$

$ б) \frac{4a-8}{a^2-ab+a-b} : \frac{ab+a^2-2a-2b}{a^2-b^2} = \frac{4(a-2)}{a(a-b)+(a-b)} : \frac{a(b+a)-2(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{4(a-2)}{(a+1)(a-b)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)(a-2)} = \frac{4}{a+1} $

$ в) \frac{x^2+y^2}{x^2+xy} : \left(\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}\right) = \frac{x^2+y^2}{x(x+y)} ∶ \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+y^2}{x(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2+xy-xy+y^2} = \frac{x-y}{x} $

$ г) \left(\frac{3m^2}{1-m^2}-1\right) : \left(1+\frac{m}{m+1}\right) = \frac{3m^2-(1-m^2 )}{1-m^2}: \frac{m+1+m}{m+1} = \frac{4m^2-1}{(1-m)(1+m)} \cdot \frac{1+m}{2m+1} = \frac{(2m-1)(2m+1)}{(1-m)(2m+1)} = \frac{2m-1}{1-m} $

$д) \frac{x^2-2x+1}{x^2+2x+1} : \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2 = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} \cdot \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} = 1$

$ е) \left(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) : \frac{a+b+c}{2abc}+c^2 = \frac{(2ab+a^2+b^2 )-c^2}{2ab} \cdot \frac{2abc}{a+b+c}+c^2 = \frac{(a+b)^2-c^2}{a+b+c} \cdot c+c^2= $

$ = \frac{(a+b-c)(a+b+c)c}{a+b+c}+c^2 = (a+b-c)c+c^2 = (a+b)c $

$ ж) \frac{1}{ab}+ \left(a^2-ab-\frac{a-b}{ab+b^2}\right) : \frac{a^2-ab}{a+b} = \frac{1}{ab} + \left(a(a-b)- \frac{a-b}{b(a+b)}\right) \cdot \frac{a+b}{a(a-b)} = $

$ = \frac{1}{ab} + (a-b) \left(a- \frac{1}{b(a+b)} \right) \cdot \frac{a+b}{a(a-b)} = \frac{1}{ab} + \frac{ab(a+b)-1}{b(a+b)} \cdot \frac{a+b}{a} = $

$ = \frac{1}{ab} + \frac{ab(a+b)-1}{ab} = \frac{1+ab(a+b)-1}{ab} = \frac{ab(a+b)}{ab} = a+b $

$ з) \left( \frac{ab+b^2}{a^2-ab} + ab+b^2\right) : \frac{a+b}{a} - \frac{b}{a-b} = \left( \frac{b(a+b)}{a(a-b)} + b(a+b) \right) \cdot \frac{a}{a+b} - \frac{b}{a-b} = $

$ = b(a+b) \left( \frac{1}{a(a-b)} +1\right) \frac{a}{a+b} - \frac{b}{a-b} = \frac{1+a(a-b)}{a(a-b)} \cdot ab - \frac{b}{a-b} = $

$ = \frac{b(1+a(a-b) )}{a-b} - \frac{b}{a-b} = \frac{b}{a-b} (1+a(a-b)-1) = \frac{ab(a-b)}{a-b} = ab $

Пример 2*. Выразите цепную дробь в виде алгебраической дроби:

а) $$ 1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{3+\frac{1}{n}}} = 1+ \frac{1}{2+1:(3+\frac{1}{n})} = 1+ \frac{1}{2+1:(\frac{3n+1}{n})} = 1+ \frac{1}{2+\frac{n}{3n+1}} = $$

$$ = 1+1:(2+ \frac{n}{3n+1}) = 1+1:\left( \frac{2(3n+1)+n}{3n+1}\right) = 1+ \frac{3n+1}{7n+2} = $$

$$ = \frac{7n+2+3n+1}{7n+2} = \frac{10n+3}{7n+2} $$

б) $$ \frac{n}{n- \frac{1}{n- \frac{n}{1-n}}} = \frac{n}{n-1:(n- \frac{n}{1-n})} = \frac{n}{n-1:(\frac{n(1-n)-n}{1-n})} = $$

$$ = \frac{n}{n+\frac{1-n}{n^2}} = n:(n+ \frac{1-n}{n^2} ) = n: \frac{n^3+1-n}{n^2} = \frac{n}{1} \cdot \frac{n^2}{n^3-n+1} = \frac{n^3}{n^3-n+1} $$

Пример 3. Найдите наименьшее значение выражения:

$$ \frac{b^2-16}{3} \cdot \left(\frac{b+4}{b-4} + \frac{b-4}{b+4}\right) = \frac{b^2-16}{4} \cdot \frac{(b+4)^2+(b-4)^2}{(b-4)(b+4)} = $$

$$ = \frac{b^2+8b+16+b^2-8b+16}{4} = \frac{2b^2+32}{4} = \frac{b^2+16}{2} $$

$$ b^2 \ge 0 \Rightarrow (b^2+16) \ge 16 \Rightarrow \frac{b^2+16}{2} \ge 8 $$

Минимальное значение при b = 0 равно 8.

Пример 4. Найдите наибольшее значение выражения:

$$ \frac{1}{(\frac{a}{4}+1)^2+(\frac{a}{4}-1)^2} = \frac{1}{(\frac{a+4}{4})^2+(\frac{a-4}{4})^2} = \frac{16}{(a+4)^2+(a-4)^2} = $$

$$ = \frac{16}{a^2+8a+16+a^2-8a+16} = \frac{16}{2a^2+32} = \frac{8}{a^2+16} $$

$$ a^2 \ge 0 \Rightarrow (a^2+16) \ge 16 \Rightarrow \frac{1}{a^2+16} \le \frac{1}{16} \Rightarrow \frac{8}{a^2+16} \le \frac{1}{2} $$

Максимальное значение при a = 0 равно $\frac{1}{2}$.