Погрешность суммы и разности величин

Виды измерений

Если в формулы для расчётов входят несколько измеряемых величин, каждая со своими погрешностями, возникает вопрос, а как оценить погрешность результата?

Погрешность суммы величин

Пусть в результате измерений получено:

$$ x = x_0 \pm \Delta x, y = y_0 \pm \Delta y $$

Найдём границы для суммы этих величин: z = x+y

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x_0- \Delta x \le x \le x_0 + \Delta x \\ y_0 - \Delta y \le y \le y_0 + \Delta y \end{array} \right.} \Rightarrow (x_0+y_0 )-( \Delta x+ \Delta y) \le x + y \le (x_0+y_0 )+( \Delta x + \Delta y) $$

(О правилах сложения двух неравенств, см. §36 данного справочника).

Получаем:

$$ z = z _0 \pm \Delta z: z_0 = x_0+y_0, \Delta z = \Delta x + \Delta y $$

Погрешность разности величин

Пусть в результате измерений получено:

$$x = x_0 \pm \Delta x, y = y_0 \pm \Delta y $$

Найдём границы для разности этих величин: z = x-y

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x_0 - \Delta x \le x \le x_0 + \Delta x \\ y_0 - \Delta y \le y \le y_0+ \Delta y \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x_0- \Delta x \le x \le x_0+ \Delta x \\ -(y_0- \Delta y) \ge - y \ge -(y_0+ \Delta y)\end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x_0 - \Delta x \le x \le x_0 + \Delta x \\ y_0 - \Delta y \le y \le y_0+ \Delta y \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ (x_0-y_0 )-( \Delta x+ \Delta y) \le x-y \le (x_0+y_0 )+( \Delta x+ \Delta y) $$

Получаем:

$$ z = z_0 \pm \Delta z: z_0 = x_0-y_0, \Delta z = \Delta x + \Delta y $$

Примеры

Пример 1. Найдите сумму и разность чисел x и y, а также относительные погрешности исходных величин и результатов:

$а) x = 8,7 \pm 0,2; y = 5,3 \pm 0,1$

$$ x_0 = 8,7, \Delta x = 0,2 $$

$$ y_0 = 5,3, \Delta y = 0,1 $$

Сумма:

$$ z = x+y = (8,7+5,3) \pm (0,2+0,1) = 14,0 \pm 0,3 $$

Разность:

$$ w = x-y = (8,7-5,3) \pm (0,2+0,1) = 3,4 \pm 0,3 $$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_x = \frac{0,2}{8,7} \cdot 100 \text{%} \approx 2,3 \text{%}, δ_y = \frac{0,1}{5,3} \cdot 100 \text{%} \approx 1,9 \text{%} $$

$$ δ_{x+y} = \frac{0,3}{14,0} \cdot 100 \text{%} \approx 2,2 \text{%}, δ_{x-y} = \frac{0,3}{3,4} \cdot 100 \text{%} \approx 8,9 \text{%} $$

$б) x = 1,47 \pm 0,005; y = 1,338 \pm 0,0005$

$$ x_0 = 1,47, \Delta x = 0,005 $$

$$ y_0 = 1,338, \Delta y = 0,0005 $$

Сумма:

$$ z = x+y = (1,47+1,338) \pm (0,005+0,0005) = 2,808 \pm 0,006 $$

Разность:

$$ w = x-y = (1,47-1,338) \pm (0,005+0,0005) = 0,132 \pm 0,006 $$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_x = \frac{0,005}{1,47} \cdot 100 \text{%} \approx 0,35 \text{%}, δ_y = \frac{0,0005}{1,338} \cdot 100 \text{%} \approx 0,04 \text{%} $$

$$ δ_{x+y} = \frac{0,006}{2,808} \cdot 100 \text{%} \approx 0,22 \text{%}, δ_{x-y} = \frac{0,006}{0,132} \cdot 100 \text{%} \approx 4,6 \text{%} $$

Пример 2. Найдите периметр прямоугольной площадки, если известны длины сторон (в м): a = 5, $12 \pm 0,02$; b = 3, $17 \pm 0,03$

Чему равна относительная погрешность периметра?

Периметр $P = 2(a+b) = 2(a_0+b_0 ) \pm 2( \Delta a+ \Delta b)$

$$ a_0 = 5,12, b_0 = 3,17, \Delta a = 0,02, \Delta b = 0,03 $$

С учётом правил округления (см. §42 данного справочника):

$$ P = 2(5,12+3,17) \pm 2(0,02+0,03) = 16,58 \pm 0,1 \approx 16,6 \pm 0,1 (м) $$

Относительная погрешность:

$$ δ_P = \frac{0,1}{16,6} \cdot 100 \text{%} \approx ↑0,61 \text{%} $$

Пример 3. Объём древесины с корой, поступившей в обработку, равен $0,78 \pm 0,005 м^3$. Объём снятой коры $0,081 \pm 0,001 м^3$. Чему равен объём полезной древесины?

$$ V_1 = 0,78 \pm 0,005, V_2 = 0,081 \pm 0,001 $$

$$ V = V_1-V_2 $$

$$ V_{10} = 0,78, V_{20} = 0,081, \Delta V_1 = 0,005, \Delta V_2 = 0,001 $$

$$V = (V_{10} - V_{20} ) \pm (\Delta V_1+ \Delta V_2 ) $$

$$ V = (0,78-0,081) \pm (0,005+0,001) = 0,699 \pm 0,006 (м^3) $$