Погрешность произведения, степени и частного величин

Погрешность произведения

Пусть в результате измерений получено:

$$ x = x_0 \pm \Delta x, \quad y = y_0 \pm \Delta y, \quad x, y \gt 0 $$

Найдём границы для произведения этих величин: z = xy

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x_0- \Delta x \le x \le x_0+ \Delta x \\ y_0- \Delta y \le y \le y_0+ \Delta y \end{array} \right.} \Rightarrow (x_0- \Delta x)(y_0-\Delta y) \le xy \le (x_0+ \Delta x)(y_0+ \Delta y) \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow x_0 y_0-( \Delta xy_0+x_0 \Delta y- \Delta x \Delta y) \le xy \le x_0 y_0-( \Delta xy_0+x_0 \Delta y+ \Delta x \Delta y) $$

(О правилах умножения двух неравенств, см. §36 данного справочника).

Абсолютные погрешности $\Delta x ≪ x_0, \Delta y≪y_0$ заметно меньше $x_0$ и $ y_0$, поэтому будем считать, что произведение $\Delta x \Delta y \approx 0$, и им можно пренебречь. Получаем:

$$ x_0 y_0-( \Delta xy_0+x_0 \Delta y) \le xy \le x_0 y_0-( \Delta xy_0+x_0 \Delta y) $$

$$ z = z_0 \pm \Delta z: z_0 = x_0 y_0, \quad \Delta z = \Delta xy_0+x_0 \Delta y $$

$$ δ_z = \frac{\Delta z}{z_0} = \frac{\Delta xy_0+x_0 \Delta y}{x_0 y_0} = \frac{\Delta x}{x_0} + \frac{\Delta y}{y_0} = δ_x+δ_y $$

$$ δ_{xy} = δ_x+δ_y $$

Погрешность степени

Пусть в результате измерений получено: $x = x_0 \pm \Delta x, x \gt 0$

Тогда, для квадрата x из выражения для относительной погрешности произведения получаем: $δ_{x^2} = δ_x+δ_x = 2δ_x$.

Для куба: $δ_{x^3 } = δ_{x^2}+δ_x = 2δ_x+δ_x = 3δ_x$.

Для произвольной степени n:

$$ δ_{x^n} = n δ_x $$

Погрешность частного

Пусть в результате измерений получено:

$$x = x_0 \pm \Delta x, \quad y = y_0 \pm \Delta y, \quad x,y \gt 0 $$

Найдём границы для частного этих величин: $z = \frac{x}{y}$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x_0- \Delta x \le x \le x_0 + \Delta x \\ y_0- \Delta y \le y \le y_0+ \Delta y \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}x_0- \Delta x \le x \le x_0+ \Delta x \\ \frac{1}{y_0-\Delta y} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{y_0+ \Delta y} \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x_0- \Delta x \le x \le x_0+ \Delta x \\ \frac{1}{y_0+ \Delta y} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{y_0- \Delta y} \end{array} \right.} \Rightarrow \frac{x_0- \Delta x}{y_0+ \Delta y} \le \frac{x}{y} \le \frac{x_0+ \Delta x}{y_0- \Delta y} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \frac{ (x_0- \Delta x)(y_0- \Delta y)}{(y_0+ \Delta y)(y_0- \Delta y)} \le \frac{x}{y} \le \frac{(x_0+ \Delta x)(y_0+ \Delta y)}{(y_0- \Delta y)(y_0+ \Delta y)} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \frac{x_0 y_0-( \Delta xy_0+x_0 \Delta y- \Delta x \Delta y)}{y_0^2- \Delta y^2} \le \frac{x}{y} \le \frac{x_0 y_0+( \Delta xy_0+x_0 \Delta y+ \Delta x \Delta y)}{y_0^2- \Delta y^2} $$

О правилах умножения двух неравенств и обращения положительных сторон, см. §36 данного справочника.

Считаем произведения и квадраты абсолютных погрешностей малыми величинами $\Delta x \Delta y \approx 0, \quad \Delta y^2 \approx 0$, которыми можно пренебречь. Получаем:

$$ \frac{x_0 y_0-( \Delta xy_0+x_0 \Delta y)}{y_0^2} \le \frac{x}{y} \le \frac{x_0 y_0+( \Delta xy_0+x_0 \Delta y)}{y_0^2} $$

$$\frac{x_0}{y_0} - \left( \frac{\Delta x}{y_0} + \frac{x_0 \Delta y}{y_0^2} \right) \le \frac{x}{y} \le \frac{x_0}{y_0} + \left( \frac{\Delta x}{y_0} + \frac{x_0 \Delta y}{y_0^2} \right) $$

$$ z = z_0 \pm \Delta z: z_0 = \frac{x_0}{y_0}, \Delta z = \frac{\Delta x}{y_0} + \frac{x_0 \Delta y}{y_0^2}$$

$$ δ_z = \frac{\Delta z}{z_0} = \left( \frac{\Delta x}{y_0} + \frac{x_0 \Delta y}{y_0^2}\right) : \frac{x_0}{y_0} = \left( \frac{\Delta x}{y_0} + \frac{x_0 \Delta y}{y_0^2}\right) \cdot \frac{y_0}{x_0} = \frac{\Delta x}{x_0} + \frac{\Delta y}{y_0} = δ_x+δ_y $$

$$ δ_{\frac{x}{y}} = δ_x+δ_y $$

Примеры

Пример 1. Точное значение выражения:

$$5,31 \cdot 4,16+2,19 \cdot 1,51 = 22,0896+3,3069 = 25,3965 $$

Считая все величины, входящие в выражение, приближёнными с абсолютной погрешностью $\Delta$ x = 0,01, выясните, нужно ли округлять ответ.

Во сколько раз абсолютная погрешность результата больше абсолютной погрешности исходных данных? Во сколько раз относительная погрешность результата больше относительной погрешности сомножителя 5,31?

Обозначим a = 5,31, b = 4,16, c = 2,19, d = 1,51.

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$δ_a = \frac{0,01}{5,31} \cdot 100 \text{%} = 0,19 \text{%}, \quad δ_b = \frac{0,01}{4,16} \cdot 100 \text{%} = 0,25 \text{%} $$

$$δ_c = \frac{0,01}{2,19} \cdot 100 \text{%} = 0,46 \text{%}, \quad δ_d = \frac{0,01}{1,51} \cdot 100 \text{%} = 0,67 \text{%} $$

Относительные погрешности произведений:

$$ δ_{ab} = δ_a+δ_b = 0,19 \text{%} + 0,25 \text{%} = 0,44 \text{%} $$

$$ δ_{cd} = δ_c+δ_d = 0,46 \text{%} +0,67 \text{%} = 1,13 \text{%} \approx ↑ 1,2 \text{%} $$

Абсолютные погрешности произведений:

$$ \Delta_{ab} = δ_{ab} \cdot ab = 0,0044 \cdot 22,0896 \approx 0,09719 \approx ↑ 0,098 $$

$$ \Delta_{cd} = δ_{cd} \cdot cd = 0,012 \cdot 3,3069 \approx 0,03968 \approx 0,040 $$

Оставляем в промежуточных оценках 2 значащие цифры для последующего округления. Абсолютная погрешность выражения:

$$ \Delta_{ab+cd} = \Delta_{ab} + \Delta_{cd} = 0,098+0,040 = 0,138 \approx ↑ 0,2 $$

Таким образом, ответ нужно округлить до десятых:

$$ 5,31 \cdot 4,16+2,19 \cdot 1,51 \approx 25,4 ± 0,2 $$

Отношение абсолютной погрешности результата к погрешности исходных данных:

$ \frac{0,2}{0,01} = 20$ - абсолютная погрешность увеличилась в 20 раз.

Относительная погрешность результата: $δ = \frac{0,2}{25,4} \cdot 100 \text{%} \approx 0,79 \text{%} $

По отношению к $δ_a: \frac{δ}{δ_a} = \frac{0,79}{0,19} \approx 4,2$ - относительная погрешность результата в 4,2 раза больше.

Пример 2. а) Границы приближенных величин $5 \le x \le 6,6 \le y \le 7$. Оцените сумму, разность, произведение и частное этих величин.

б) Считая x и y точными величинами, принимающими значения на заданных отрезках, найдите границы суммы, разности и произведения этих величин.

а) По условию:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x_0-\Delta x = 5 \\ x_0+\Delta x = 6 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2x_0 = 5+6 = 11 \\ 2 \Delta x = 6-5 = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x_0 = 5,5 \\ \Delta x = 0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow δ_x = \frac{0,5}{5,5} \cdot 100 \text{%} \approx 9,1 \text{%} $$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} y_0- \Delta y = 6 \\ y_0+ \Delta y = 7 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2y_0 = 6+7 = 13 \\ 2 \Delta y = 7-6 = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y_0 = 6,5 \\ \Delta y = 0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow δ_y = \frac{0,5}{6,5} \cdot 100 \text{%} \approx 7,7 \text{%} $$

Абсолютная погрешность суммы: $\Delta_{x+y} = \Delta_x+\Delta_y = 0,5+0,5 = 1$

$$ x+y = (5,5+6,5) \pm 1 = 12 \pm 1 $$

Границы суммы: $ 11 \le x+y \le 13$

Абсолютная погрешность разности: $\Delta _{x-y} = \Delta _x + \Delta _y = 0,5+0,5 = 1$

$$ x-y = (5,5-6,5) \pm 1 = -1 \pm 1 $$

Границы разности: $-2 \le x-y \le 0$

Относительная погрешность произведения:

$$δ_{xy} = δ_x+δ_y = 9,1 \text{%} +7,7 \text{%} = 16,8 \text{%} \approx 17 \text{%}$$

Абсолютная погрешность произведения:

$$ \Delta_{xy} = δ_{xy} \cdot x_0 y_0 = 0,17 \cdot 5,5 \cdot 6,5 = 6,0775 \approx ↑ 7 $$

$$ xy = (5,5 \cdot 6,5) \pm 7 \approx 36 \pm 7 $$

Границы произведения: $29 \le xy \le 43$

Относительная погрешность частного:

$$ δ_{x/y} = δ_x+δ_y = 9,1 \text{%} +7,7 \text{%} = 16,8 \text{%} \approx 17 \text{%} $$

Абсолютная погрешность частного:

$$ \Delta_{\frac{x}{y}} = δ_{\frac{x}{y}} \cdot \frac{x_0}{y_0} = 0,17 \cdot \frac{5,5}{6,5} \approx 0,14 \approx ↑ 0,2 $$

$$ \frac{x}{y} = \left( \frac{5,5}{6,5} \right) \pm 0,2 \approx 0,8 \pm 0,2 $$

Границы частного: $0,6 \le \frac{x}{y} \le 1,0$

б) Для точных величин получаем следующие границы:

Границы суммы:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 5 \le x \le 6 \\ 6 \le y \le 7 \end{array} \right.} \Rightarrow 5+6 \le x+y \le 6+7 \Rightarrow 11 \le x+y \le 13 $$

Границы разности:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 5 \le x \le 6 \\ 6 \le y \le 7 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5 \le x \le 6 \\ -7 \le -y \le -6 \end{array} \right.} \Rightarrow 5-7 \le x-y \le 6-6 \Rightarrow -2 \le x-y \le 0 $$

Границы произведения:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 5 \le x \le 6 \\ 6 \le y \le 7 \end{array} \right.} \Rightarrow 5 \cdot 6 \le xy \le 6 \cdot 7 \Rightarrow 30 \le xy \le 42 $$

Границы частного:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 5 \le x \le 6 \\ 6 \le y \le 7 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5 \le x \le 6 \\ \frac{1}{7} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{6} \end{array} \right.} \Rightarrow \frac{5}{7} \le \frac{x}{y} \le 1 $$

Пример 3. В эксперименте по определению плотности вещества получен объём V = 9, 7 $\pm$ 0,05 мл и масса m = 107 $\pm$ 2 г. Найдите плотность.

Это свинец или железо?

Плотность:

$$ ρ = \frac{m}{V}, ρ_0 = \frac{m_0}{V_0} = \frac{107 \cdot 10^{-3} кг}{9,7 \cdot 10^{-6} м^3} \approx 11031 \frac{кг}{м^3} $$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_V = \frac{0,05}{9,7} \cdot 100 \text{%} \approx 5,2 \text{%}, δ_m = \frac{2}{107} \cdot 100 \text{%} \approx 1,9 \text{%} $$

$$ δ_ρ = δ_V+δ_m = 5,2 \text{%} +1,9 \text{%} = 7,1 \text{%} $$

Абсолютная погрешность для плотности (округление с избытком):

$$ Δ_ρ = δ_ρ \cdot ρ_0 = 0,071 \cdot 11031 \approx 800 \frac{кг}{м^3} $$

$$ ρ = 11000 \pm 800 \frac{кг}{м^3} $$

Это – свинец (табличное значение $ρ_{таб} = 11340 \frac{кг}{м^3}$ ).