Пересечение, объединение и разность множеств
Пересечение множеств
Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:
$$ A \cap B = \{x|x \in \Bbb A и x \in \Bbb B \} $$
Если множества не пересекаются, то $A \cap B = \varnothing $ - пустое множество в пересечении. Если $B \subseteq A$ - подмножество, то $A \cap B = B$ – пересечением будет меньшее множество из двух.
Например:
Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A \cap B$ = {3;5}.
Если A = {f|f-прямоугольник}, B = {f|f-ромб}, то $A \cap B$ = {f|f-квадрат}.
Если A = $\{n|n⋮3, n \in \Bbb N \}$ - натуральные числа, кратные 3, B = $\{n|n⋮5, n \in \Bbb N \}$ - натуральные числа, кратные 5, то $A \cap B = {n|n⋮15, n \in \Bbb N}$ - натуральные числа, кратные 15.
Если A = {a│a-слон}, B = {a|a-птица}, то $A \cap B = \varnothing$.
Объединение множеств
Объединением – множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств, A или B:
$$ A \cup B = \{ x|x \in \Bbb A или x \in \Bbb B \} $$
Если $B \subseteq A$ - подмножество, то $A \cap B = A$ – объединением будет большее множество из двух.
Например:
Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A \cup B$ = {1;3;5;7;9;11}.
Если $A = \{x|x^2-4 = 0, x \in \Bbb R\}, B = \{x|x+3 = 2, x \in \Bbb R \}, то A \cup$ B = {-2;-1;2}
Если $A = \{n│n \in \Bbb Z \}$- все целые числа, $B = \{x|x = \frac{a}{b}, a \in \Bbb Z, b \in \Bbb N \}$ - все дроби, то $A \cup B = \{x│x \in \Bbb Q\}$ - множество рациональных чисел. Заметим, что в данном случае $A \subset B$.
Универсум и отрицание
Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.
В литературе универсум обозначают U.
На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:
Примеры универсумов:
При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.
При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.
При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.
Отрицание (абсолютное дополнение) множества A - множество всех элементов универсума, не принадлежащих A:
$$ \bar{A} = \{x|x \notin A \} $$
Читается «не A».
У отрицания есть любопытное свойство: $\bar{\bar{Α}} = Α $(два раза «нет» - это «да»).
Например:
Если U = {1;2;3;4;5;6;7}, A = {3;4;5}, то $\bar{A} = \{1;2;6;7\}$
Если U = $\{x|x \in \Bbb R\}$ - все действительные числа, A = $\{x|x \gt 0, x \in \Bbb R \}$ - все положительные действительные числа, то $ \bar{A} = \{x|x \le 0, x \in \Bbb R\}$.
Свойства операций пересечения и объединения
Пересечение
Объединение
Коммутативность
$A \cap B = B \cap A$
$ A \cup B = B \cup A $
Ассоциативность
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
$ (A \cup B) \cup C = A \cup ( B \cup C) $
Дистрибутивность
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
$ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) $
Идемпотентность
$A \cap A = A$
$ A \cup A = 0 $
Взаимодействие с отрицанием, пустым множеством и универсумом
$A \cap \bar{A} = \varnothing $
$A \cap U = A$
$A \cap \varnothing = \varnothing$
$A \cup \bar{A} = U $
$A \cup U = U$
$A \cup \varnothing = A$
Законы де Моргана
$ \overline{(A \cap B)} = \bar{A} \cup \bar{B} $
$ \overline{(A \cup B)} = \bar{A} \cap \bar{B} $
Закон поглощения
$ (A \cup B) \cap A = A $
$ (A \cap B) \cup A = A $
Разность множеств
Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:
$$ A\B = \{x|x \in \Bbb A , x \notin B\} $$
Читается «A без B».
На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:
Получается, что отрицание – частный случай разности: $ \bar{A} = \{x|x \in \Bbb U, x \notin A \} $= U\A
«Не A» - это «универсум без A».
Формулы включений и исключений
Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.
Пусть число элементов во множествах равно n(A)и n(B) соответственно. А число элементов в пересечении $n(A \cap B)$.
Вопрос: сколько всего элементов в обоих множествах, т.е. чему равно $n(A \cup B)$?
Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:
$$n(A \cup B) = n(A)+ n(B)-n(A \cap B)$$
Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.
Сумма n(A)+ n(B)+n(C) учтёт каждое из парных пересечений по два раза. Поэтому, аналогично задаче с двумя множествами, нужно отнять всё, что попадает в парные пересечения, т.е. отнять сумму $(n(A \cap B)+n(A \cap C)+n(B \cap C) )$. Но после этого получится, что мы лишний раз отняли $n(A \cap B \cap C)$; значит, его нужно «вернуть».
Получаем:
$$ n(A \cup B \cup C) = n(A)+ n(B)+n(C)- $$
$$ -(n(A \cap B)+n(A \cap C)+n(B \cap C) )+n(A \cap B \cap C) $$
Примеры
Пример 1. Найдите пересечение данных множеств:
а) A = {0;5;8;10},
B = {3;6;8;9}
$A \cap B$ = {8}
$б) A = \{x|x \lt 3, x \in \Bbb R\}, $
$ B = \{x|x \gt 1, x \in \Bbb R\} $
$A \cap B = \{x|1 \lt x \lt 3, x \in \Bbb R\}$ - отрезок
$в) A = \{x|x \lt 3, x \in \Bbb R\}, $
$ B = \{x|x \gt 1, x \in \Bbb N\} $
$A \cap B = \{x|1 \lt x \lt 3, x \in \Bbb N \} или A \cap B = \{2\}$ - одна точка
г) A = {f|f-правильный многоугольник},
B = {f|f-четырехугольник}
$A \cap B = \{f|f-квадрат\}$
Пример 2. Найдите объединение данных множеств:
а) A = {0;5;8;10}, B = {3;6;8;9}
$A \cup B$ = {0;3;5;6;8;9;10}
б) A = {1;2}, B = {1;2;3;4}
$A \subset B$ – строгое подмножество
$A \cup B $ = B = {1;2;3;4}
$в) A = \{x|x \lt 1, x \in \Bbb R\}, B = \{x|x \gt 1,x \in \Bbb R\} $
$A \cup B = \{x|x \neq 1, x \in \Bbb R \}$
$г) A = \{n│n⋮3, n \in \Bbb Z\}, B = \{n|n⋮9,n \in \Bbb N\} $
$B \subset A$ - строгое подмножество
$ A \cup B = A = \{n│n⋮3, n \in \Bbb Z\} $
Пример 3. Найдите отрицание данного множества на данном универсуме:
а) U = {1;2;3;4;5}, A = {2;3}
$ \bar{A} = {1;4;5}$
б) U = $\{x│x \in \Bbb Q \}$, A = $\{ \frac{4}{5}, \frac{7}{8} \}$
$ \bar{A} = \{x|x \neq \frac{4}{5}, x \neq \frac{7}{8}, x \in \Bbb Q\} $
$в) U = \{x│x \in \Bbb R\}, A = \{x|x \ge 2, x \in \Bbb R\} $
$\bar{A} = \{x|x \lt 2, x \in \Bbb R\}$
г) U = { 0;1}, A = { 0}
$ \bar{A} = {1}$
Пример 4. Найдите обе разности данных множеств:
а) A = {0;1;2;3;4}, B = {2;4}
A\B = {0;1;3}, $B\A = \{∅\}$
б) A = {0;1;3}, B = {2;4;6}
A\B = {0;1;3}, B\A = {2;4;6}
$в) A = \{x|x \gt 1, x \in \Bbb R\}, $
$ B = \{x|x \lt 3, x \in \Bbb R\} $
A\B $ = \{x|x \ge 3, x \in \Bbb R\}$
B\A $ = \{x|x \le 1,x \in \Bbb R\} $
$ г*) A = \{(x,y)|x \gt 0, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $
$ B = \{(x,y)|x \le 5, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $
A\B $ = \{(x,y)|x \gt 5, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $
B\A $ = \{(x,y)|x \le 0, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $
Пример 5. Из 100 студентов умеют программировать на Python 28 человек, на Java 30 человек, на C# 42 человека, на Python и Java 8 человек, на Python и C# 10 человек, на Java и C# 5 человек. Все три языка знают 3 студента. А сколько студентов не умеют программировать на этих языках?
n(U) = 100
n(A) = 28, n(B) = 30, n(C) = 42
$ n(A \cap B) = 8, n(B \cap C) = 5, n(A \cap C) = 10 $
$n(A \cap B \cap C) = 3$
Всего программистов:
$ n(A \cup B \cup C) = n(A)+n(B)+n(C)- $
$ (n(A \cap B)+n(B \cap C)+n(A \cap C) )+n(A \cap B \cap C) $
$n(A \cup B \cup C) = 28+30+42-(8+5+10)+3 = 100-23+3 = 80$
Число не умеющих программировать:
$n(U)-n(A \cup B \cup C) = 100-80 = 20$
Ответ: 20 человек
