Параллельный перенос и симметричные отображения графиков функций

Параллельный перенос графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x+a) $$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

Пусть a = 3.

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $y_2 = f(x+3) = (x+3)^2 $ $y_2=y_1 при x_2=x_1-3$ График смещается влево на 3 по оси OX
Гипербола: $ y_1 = f(x) = \frac{2}{x}$ $y_2 = f(x+3) = \frac{2}{x+3} $ $ y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3 $ График смещается влево на 3 по оси OX
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x}$ $y_2 = f(x+3) = \sqrt{x+3}$ $y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3$ График смещается влево на 3 по оси OX

Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x-a) $$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

Пусть a = 2.

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $y_2 = f(x-2) = (x-2)^2 $ $y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$ График смещается вправо на 2 по оси OX
Гипербола: $ y_1 = f(x) = \frac{2}{x}$ $y_2 = f(x-2) = \frac{2}{x-2}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$ График смещается вправо на 2 по оси OX
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x}$ $y_2 = f(x-2) = \sqrt{x-2}$ $y_2=y_1 при x_2 = x_1+2$ График смещается вправо на 2 по оси OX

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Параллельный перенос графика по оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)+a$$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

Пусть a = 1.

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f(x)+1 = x^2+1 $ $y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$ График смещается вверх на 1 по оси OY
Гипербола: $ y_1 = f(x) = \frac{2}{x}$ $y_2 = f(x)+1 = \frac{2}{x}+1$ $ y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1 $ График смещается вверх на 1 по оси OY
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x}$ $y_2 = f(x)+1 = \sqrt{x}+1$ $y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$ График смещается вверх на 1 по оси OY

Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)-a $$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

Пусть a = 2.

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f(x)-2 = x^2-2 $ $y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$ График смещается вниз на 2 по оси OY
Гипербола: $ y_1 = f(x) = \frac{2}{x}$ $y_2 = f(x)-2 = \frac{2}{x} -2$ $ y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$ График смещается вниз на 2 по оси OY
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x}$ $y_2 = f(x)-2 = \sqrt{x}-2$ $y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$ График смещается вниз на 2 по оси OY

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Симметрия относительно оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = -f(x)$$

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2+1$ $ y_2 = -f(x) = -x^2-1 $ $y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$ График симметричен относительно оси OX
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x+2}$ $y_2 = -f(x) = -\sqrt{x+2}$ $y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$ График симметричен относительно оси OX

Это справедливо для любой функции f(x).

Симметрия относительно оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(-x)$$

Парабола: $y_1=f(x)=x^2-2x$ $ y_2=f(-x)=x^2+2x $ $y_2=y_1 при x_2 = -x_1$ График симметричен относительно оси OY
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x+2}$ $y_2 = f(-x) = -\sqrt{-x+2}$ $y_2 = y_1 при x_2 = -x_1$ График симметричен относительно оси OY

Это справедливо для любой функции f(x).

Примеры

Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости функции

$$ y = x^2, \quad y = (x-3)^2, \quad y = (x-3)^2+2, \quad y = -x^2 $$

Сделайте выводы.

По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2$:

• график функции $y = f(x-3) = (x-3)^2$ сдвинут вправо на 3 по OX(→)
• график функции $y = f(x-3)+2 = (x-3)^2+2 $ сдвинут вправо на 3 по OX и вверх на 2 по OY(↑)
• график функции $y = -f(x) = -x^2$ симметричен относительно оси OX.

Пример 2. Постройте в одной координатной плоскости функции

$$ y = \sqrt{x+1}, \quad y = \sqrt{-x+1}, \quad y = - \sqrt{x+1}, \quad y = - \sqrt{x+1}-3 $$

Сделайте выводы.

По сравнению с графиком $y = f(x) = \sqrt{x+1}$:

• график функции $y = f(-x) = \sqrt{-x+1}$ симметричен относительно оси OY
• график функции $y = -f(x) = - \sqrt{x+1}$ симметричен относительно оси OX
• график функции $y = -f(x)-3 = -x^2$ симметричен относительно оси OX и сдвинут вниз на 3 по оси OY(↓).