Относительная погрешность
Определение относительной погрешности измерений
Относительная погрешность измерений – это отношение абсолютной погрешности измерений к истинному значению измеряемой величины, в долях или процентах:
$ δ = \frac{\Delta x}{x_{ист}}$ или $ δ = \frac{\Delta x}{x_{ист}} \cdot 100 \text{%} $
Правила округления
На практике относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление с избытком, т.е. всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.
Например:
Для x = 1, $7 \pm 0,2$ относительная погрешность измерений
$δ = \frac{0,2}{1,7} \cdot 100 \text{%} \approx 11,8 \text{%} \approx 12 \text{%}$ - погрешность достаточно велика.
Внимание!
Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.
Примеры
Пример 1. Согласно данным эксперимента, проведенного в 1975 году, скорость света равна $c = 299 792 458 \pm 1,2 м/с$. Найдите относительную погрешность измерений в этом эксперименте в долях и процентах.
$$ δ = \frac{1,2}{299 792 458} \approx 4,0 \cdot 10^{-9} $$
$$δ = 4,0 \cdot 10^{-9} \cdot 100 \text{%} \approx (4,0 \cdot 10^{-7} ) \text{%} $$
Пример 2. В результате школьного эксперимента ускорение свободного падения оказалось равным $g = 10,0 \pm 0,1 м/с^2$. Определите относительную погрешность для данного эксперимента, а также относительную погрешность по отношению к табличной величине $g_0 = 9,81 м/с^2$. Что вы можете сказать о систематической ошибке эксперимента?
Для данного эксперимента $δ = \frac{0,1}{10,0} \cdot 100 \text{%} = 1,0 \text{%} $
Относительная погрешность по отношению к табличной величине:
$$ δ_{таб} = \frac{|g-g_0 |}{g_0} \cdot 100 \text{%}, δ_{таб} = \frac{|10,0-9,81|}{9,81} \cdot 100 \text{%} \approx 1,9 \text{%} $$
Согласно полученным результатам $9,9 \le g \le 10,1$, табличное значение в этот отрезок не входит. В эксперименте присутствует систематическая ошибка: результаты систематически завышены.
Пример 3. При взвешивании масса слона оказалась равной $M = 3,63 \pm 0,01$ т, а масса муравья $m = 41,2 \pm 0,5$ мг. Какое измерение точнее?
Найдем относительные погрешности измерений:
$$ δ_M = \frac{0,01}{3,63} \cdot 100 \text{%} \approx 0,28 \text{%} $$
$$ δ_m = \frac{0,5}{41,2} \cdot 100 \text{%} \approx 1,21 \text{%} \approx ↑1,3 \text{%} $$
Таким образом, масса слона определена точнее.
Пример 4. Вольтметр измеряет напряжение с относительной погрешностью 0,5%. Найдите границы точного значения величины, если при измерении получено $V_0$ = 5 В.
Абсолютная погрешность измерений данным вольтметром:
$$ \Delta V = V_0 \cdot δ, \Delta V = 5 \cdot 0,005 = 0,025 (В) \approx 0,03(В) $$
Границы точного значения:
$$ V = 5,00 \pm 0,03 (В) или 4,97 \le V \le 5,03 (В) $$
