Основные тождества для квадратных корней

Таблица основных тождеств для квадратных корней

$$ (\sqrt a)^2=a, \quad a \ge 0 $$

$$ \sqrt{a^2} = |a|, \quad a \in \Bbb R $$

$$ \sqrt{a^2k} = |a^k |, \quad a \in \Bbb R, k \in \Bbb N $$

$$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \quad a \ge 0, b \ge 0 $$

$$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}, \quad a \ge 0, b \ge 0 $$

$$\sqrt{abc…} = \sqrt a \cdot \sqrt b \cdot \sqrt c …, \quad a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0, …$$

$$ \sqrt a \cdot \sqrt b \cdot \sqrt c … = \sqrt{abc…}, \quad a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0, …$$

$$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b}, \quad a \ge 0, b \gt 0 $$

$$ \frac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\frac{a}{b}}, \quad a \ge 0, b \gt 0 $$

Алгоритм решения уравнений с квадратным корнем

Решаем уравнение вида $ \sqrt{ax+b} = c, a \neq 0$

Шаг 1. Если $c \ge 0$, возвести в квадрат левую и правую части.

Если $c \lt 0$, решений нет, $x \in \varnothing$, перейти на шаг 3.

Шаг 2. $ax+b = c^2 \Rightarrow x = \frac{c^2-b}{a} $

Шаг 3. Конец работы.

Примеры

Пример 1. Вычислите:

а) $$ \sqrt{29^2-20^2} = \sqrt{(29-20)(29+20)} = \sqrt{9 \cdot 49} = 3 \cdot 7 = 21 $$

б)$$ \sqrt{41^2-40^2} = \sqrt{(41-40)(41+40)} = \sqrt{1 \cdot 81} = 1 \cdot 9 = 9 $$

в)$$ \sqrt{0,85^2-0,84^2} = \sqrt{(0,85-0,84)(0,85+0,84)} = \sqrt{0,01 \cdot 1,69} = 0,1 \cdot 1,3 = 0,13 $$

г)$$ \sqrt{0,25^2-0,24^2} = \sqrt{(0,25-0,24)(0,25+0,24)} = \sqrt{0,01 \cdot 1,49} = 0,1 \cdot 0,7 = 0,07 $$

д)$$ \sqrt{250} \cdot \sqrt{90} = \sqrt{25 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 10} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{9} 9 \cdot \sqrt{10^2} = 5 \cdot 3 \cdot 10 = 150 $$

е)$$ \sqrt{33} \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{77} = \sqrt{3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{11^2} = 3 \cdot 7 \cdot 11 = 231 $$

ж) $$ \sqrt{17 \frac{6}{7}} \cdot \sqrt{\frac{5}{7}} = \sqrt{\frac{125}{7} \cdot \frac{5}{7}} = \sqrt{\frac{25^2}{7^2}} = \frac{25}{7} = 3 \frac{4}{7} $$

з) $$ \sqrt{4 \frac{21}{37}} \cdot \sqrt{\frac{37}{144}} = \sqrt{\frac{169}{37} \cdot \frac{37}{144}} = \sqrt{\frac{13^2}{12^2}} = \frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12} $$

Пример 2. Найдите значение выражения, если x = 1,14:

а) $$ \sqrt{x^2-2x+1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1| = |1,14-1| = 0,14 $$

б) $$ \sqrt{x^2-6x+9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| = |1,14-3| = 1,86 $$

Пример 3. Решите уравнение:

а) $\sqrt{x-3} = 5 $

$ (\sqrt{x-3})^2 = 5^2 \Rightarrow x-3 = 25 \Rightarrow x = 28 $

б) $3+ \sqrt{5+x} = 2 $

$\sqrt{5+x} = -1 \lt 0$ – значение квадратного корня не может быть отрицательным $x \in \varnothing$, решений нет

в) $в) \sqrt{x^2+10} = 4$

$ ( \sqrt{x^2+7})^2 = 4^2 \Rightarrow x^2+7 = 16 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1,2 = \pm 3 $

$г) г) \sqrt{\sqrt{x+7}+1} = 3 $

$ (\sqrt{\sqrt{x+7}+1})^2 = 3^2 \Rightarrow \sqrt{x+7}+1 = 9 \Rightarrow \sqrt{x+7} = 8 \Rightarrow x+7 = 64 \Rightarrow x = 57 $

Пример 4*. Сократите дробь:

а) $$ \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{1}{\sqrt{5}} $$

б) $$ \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = 5 \sqrt{3} $$

в) $$ \frac{14}{\sqrt{7}} = \frac{2 \cdot 7}{\sqrt{7}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{7})^2}{\sqrt{7}} = 2 \sqrt{7} $$

г) $$ \frac{5- \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} (\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}-1 $$

д) $$ \frac{a^2-13}{a+ \sqrt{13}} = \frac{a^2-(\sqrt{13})^2}{a+\sqrt{13}} = \frac{(a+\sqrt{13})(a-\sqrt{13})}{a+\sqrt{13}} = a-\sqrt{13}$$

е)$$ \frac{x^2+2x \sqrt{5}+5}{x+\sqrt{5}} = \frac{(x+\sqrt{5})^2}{x+\sqrt{5}} = x+\sqrt{5} $$

Пример 5. В Древнем Вавилоне уже умели находить не только квадратные корни в натуральных числах, но и вывели формулу для приблизительных вычислений.

Если число можно представить в виде $k = a^2 \pm b$, где $a^2$ – ближайший к a по значению квадрат натурального числа, b - «остаток», то

$$ \sqrt{k} = \sqrt{a^2 \pm b} \approx a \pm \frac{b}{2a} $$

Например:

$ \sqrt{65} = \sqrt{8^2+1} \approx 8+ \frac{1}{2 \cdot 8} \approx 8,06 $

$ \sqrt{65} = \sqrt{8^2-1} \approx 8 - \frac{1}{2 \cdot 8} \approx 7,94 $

Найдите с точностью до сотых квадратные корни из следующих чисел:

а) 125

$ \sqrt{125} = \sqrt{121+4} = \sqrt{11^2+4} \approx 11+ \frac{4}{2 \cdot 11} \approx 11,18 $

б) 138

$ \sqrt{138} = \sqrt{144-6} = \sqrt{12^2-6} \approx 12 - \frac{6}{2 \cdot 12} \approx 11,75 $

в) 83

$ \sqrt{83} = \sqrt{81+2} = \sqrt{9^2+2} \approx 9 + \frac{2}{2 \cdot 9} \approx 9,11 $

г) 175

$ \sqrt{175} = \sqrt{169+6} = \sqrt{13^2+6} \approx 13 + \frac{6}{2 \cdot 13} \approx 13,23 $