Множество и его элементы. Подмножества
Понятие множества
Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».
Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».
Приведём примеры множеств:
Множество людей в салоне самолёта
Множество деревьев в парке
Множество планет Солнечной системы
Множество электронов в атоме
Множество натуральных чисел
Множество «синих-синих презелёных красных шаров»
1,2,3,….$\infty$
$\varnothing$
Конечное, бесконечное и пустое множества
Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.
С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.
Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.
Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.
Конечные множества
Бесконечные множества
Пустые множества
Игроки на поле
Помидоры на грядке
Пчёлы в улье
Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)
Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]
Полосатые летающие слоны
Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости
Способы задания множеств
1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.
Например:
Множество всех континентов Земли:
{Евразия,Северная Америка,Южная Америка,Африка,Австралия,Антарктида}
Множество букв слова «математика»: {м,а,т,е,и,к}
Множество натуральных чисел меньших 5: {1,2,3,4}
2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.
Например:
A = $\{x|x \gt 0, x \in \Bbb R\}$ - множество всех действительных положительных x
B = $\{n|n⋮5,n \in \Bbb N\}$ - множество всех натуральных n, кратных 5
C = $\{(x,y)|x^2+y^2 \ge 1,x \in \Bbb R,y \in \Bbb R\}$ – множество всех действительных точек координатной плоскости (x,y), расстояние от которых до начала координат не больше 1 (круг с центром в начале координат, радиусом 1).
D = {k|k-материк Земли} – множество всех материков планеты Земля
3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)
Подмножества
Множество A называют подмножеством множества B (A $\subseteq$ B), если всякий элемент множества A также является элементом множества B:
$$ A \subseteq B \iff (a \in \Bbb A \Rightarrow a \in \Bbb B) $$
Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Знак $\subseteq$ является аналогом $\ge$, т.е. «нестрогим» неравенством. Это значит, что множества A и B могут и совпадать (любое множество является подмножеством самого себя).
Между множествами можно также ввести отношение «строгое подмножество», $A \subset B$, в котором B заведомо «шире» множества A (аналог строгого неравенства $\lt$).
Примеры подмножеств:
Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.
Множество натуральных чисел меньших 5 является подмножеством натуральных чисел меньших $10: A = \{n|n \lt 5, n \in \Bbb N\}, B = \{m|m \lt 10, m \in \Bbb N\}, A \subseteq B$
Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.
Множество полосатых летающих слонов – как пустое множество - является подмножеством чего угодно: приматов, чисел, прямоугольников. Что удобно для размышлений о смысле всего.
Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.
Булеан конечного множества из n элементов содержит $2^n$ элементов:
$$ |A| = n, |P(A)| = 2^n$$
Примеры
Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:
а) $A = \{x|x^2 \lt 5, x \in \Bbb Z\}$
Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:
A = {-2;-1;0;1;2}
б) $B = \{x||x| \ge 3, x \in \Bbb Z\}$
Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:
B = {-3;-2;-1;0;1;2;3}
в) $ C = \{x|(x-1)(2x+5) = 0, x \in \Bbb Q\}$
Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения
(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:
C = {1;-2,5}
г) $D = \{n|9 \lt n \ge 12, n \in \Bbb N\}$
Задано множество натуральных чисел, входящих в полуинтервал $9 \lt n \le 12$.
Перечисляем:
D = {10;11;12}
Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:
а) Множество всех натуральных чисел меньше 10
$$ A = \{n|n \lt 10, n \in \Bbb N\} $$
б) Множество всех действительных чисел, кроме 0
$$ B = \{x|x \neq 0, x \in \Bbb R\} $$
в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1
$$C = \{(x,y)|y = 2x+1, x \in \Bbb Z, y \in \Bbb Z\}$$
г) Множество всех целых решений уравнения $x^3+x^2+4 = 0$
$$ D = \{x|x^3+x^2+4 = 0, x \in \Bbb Z\} $$
Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:
а) $A = \{(x,y)|y = x+2, x \le 3, x \in \Bbb N\}$
Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:
A = {(1;3);(2;4);(3;5) }
На графике:
б)$ B = \{(x,y)|y = \frac{4}{x},-4 \le x \le -1, x \in \Bbb R\}$
Задано бесконечное множество точек, принадлежащих данной гиперболе $y = \frac{4}{x}$ в данном интервале $-4 \le x \le -1$. На графике:
Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:
а) A = {k|k-электронное устройство}
$B \subseteq A, B$ = {компьютер, смартфон, планшет}
б) A = {m|m-четырёхугольник}
$B \subseteq A, B$ = {квадрат, ромб, прямоугольник}
в) A = {p|p-музыкальный инструмент}
$B \subseteq A, B$ = {пианино, скрипка, виолончель}
г) A = {t|t-средство передвижения}
$B \subseteq A, B$ = {автомобиль,автобус,поезд}
Пример 5*. Найдите булеан данного множества:
а) A = {5;10;27}
$$ P(A) = \{\{\varnothing\},\{5\},\{10\},\{27\},\{5;10\},\{5;27\},\{10;27\},\{5;10;27\} \} $$
Исходное множество состоит из n = 3 элементов, булеан состоит из $2^3 = 8$ элементов.
б) B = {1;{2;16} }
$$ P(B) = \{\{\varnothing\},\{1\},\{2;16\},\{1;\{2;16\} \} \} $$
Исходное множество состоит из n = 2 элементов, булеан состоит из $2^2 = 4$ элементов.
