Множества натуральных и целых чисел

Понятие и свойства натуральных чисел

В отечественной литературе используются следующие обозначения:

N = {1,2,3,…} - натуральные числа без нуля

$N_0 = Z_+$ = {0,1,2,3,…} - расширенное множество с нулём

В зарубежной литературе по стандарту ISO 80000-2 (2009 год):

$N^* =${1,2,3,…} - натуральные числа без нуля

N = {0,1,2,3,…} - расширенное множество с нулём

Свойства натуральных чисел

1. 1 – первое натуральное число, перед ним нет никаких натуральных чисел.

2. За каждым натуральным числом идёт следующее натуральное число, причём единственное.

3. Определено отношение порядка $1 \lt 2 \lt 3 \lt$ ⋯

4. Множество натуральных чисел бесконечно.

5. Для натуральных чисел справедлива аксиома индукции Пеано.

Замкнутые операции над натуральными числами

1. Сложение: a+b = c

2. Умножение: ab = c

3. Возведение в натуральную степень: $a^b = c$

Незамкнутые операции над натуральными числами (не всегда результаты будут натуральными)

1. Вычитание: a-b = c. Результат натуральный, если $a \gt b$

2. Деление нацело (с остатком): $a/b = (c;r), 0 \le r \lt b,a = bc+r$

Понятие и свойства целых чисел

Множество целых чисел обозначается Z.

$$Z = \{…,-2,-1,0,1,2,…\}$$

Свойства целых чисел

1. Множество целых чисел бесконечно.

2. На множестве определено отношение порядка

$… \lt -2 \lt -1 \lt 0 \lt 1 \lt 2 \lt ⋯ $

3. Множество содержит ноль («нейтральный элемент»): 0+a = a+0 = a,∀a $\in \Bbb Z$

4. Для каждого целого числа a существует противоположное ему число –a, при этом a+(-a) = 0.

Замкнутые операции над целыми числами

1. Сложение: a+b = c

2. Вычитание: a-b = c

3. Умножение: ab = c

4. Возведение в натуральную или нулевую степень: $a^b = c$

5. Деление нацело (с остатком): a/b = (c;r), $0 \le r \lt |b|$, a = bc+r

Таким образом, расширение множества натуральных чисел до целых чисел «замыкает» множество по операциям вычитания и деления нацело. В алгебре говорят, что множество целых чисел образует «кольцо».

Примеры

Пример 1. Докажите, что натуральное число вида $a^3+1$ делится нацело на a+1.

Запишем отношение:

$$ \frac{a^3+1}{a+1} = \frac{a^3+a^2-a^2-a+a+1}{a+1} = \frac{a^2 (a+1)-a(a+1)+(a+1)}{a+1} = $$

$$= \frac{(a+1)(a^2-a+1)}{a+1} = a^2-a+1 \in \Bbb N $$

Результатом деления является натуральное число. Что и требовалось доказать.

Пример 2. Докажите, что куб любого натурального числа $n \gt 1$ может быть представлен как разность квадратов двух других натуральных чисел

$$ n^3 = a^2-b^2,a,b,n \in \Bbb N, n \gt 1 $$

Запишем систему уравнений:

$$ n^3 = a^2-b^2 = \underbrace{(a+b)}_{\text{n^2}} \underbrace{(a-b)}_{\text{n}} $$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+b = n^2 \\ a-b = n \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2a = n^2+n \\ 2b = n^2-n \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = \frac{n^2+n}{2} = \frac{n(n+1)}{2} \\ b = \frac{n^2-n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \end{array} \right.} $$

Получается, что a и b всегда существуют и являются натуральными, т.к. произведение двух последовательных натуральных чисел всегда делится на 2 нацело (ведь одно из этих чисел обязательно будет чётным). Что и требовалось доказать.

Примеры разложений по полученной формуле:

$$ 3^3 = 6^2-3^2, 8^3 = 36^2-28^2, 11^3 = 66^2-55^2 $$

Пример 3. Найдите все целые значения дроби, если $n \in \Bbb Z$:

$а) \frac{(n-6)^2}{n-3}$

$$ \frac{(n-6)^2}{n-3} = \frac{n^2-12n+36}{n-3} = \frac{n^2-3n-9n+36}{n-3} = $$

$$ = \frac{n(n-3)-9n+27+9}{n-3} = \frac{n(n-3)-9(n-3)+9}{n-3} = n-9+ \frac{9}{n-3} $$

$ Дробь \frac{9}{n-3} будет целым числом при n = -6;0;2;4;6;12. Получаем: $

Ответ:{-16;-12;4;0}

$ б) \frac{n^2-10n+37}{n-5} $

$$ \frac{n^2-10n+37}{n-5} = \frac{(n^2-10+25)+12}{n-5} = \frac{(n-5)^2+12}{n-5} = n-5+ \frac{12}{n-5} $$

Ответ:$\{\pm 7; \pm 8 \pm 13\}$

Пример 4. Решите уравнение в целых числах:

а) x+y = xy

Выразим y через x:

$$ y-xy = -x \Rightarrow y(1-x) = -x \Rightarrow y = - \frac{x}{1-x} = \frac{x}{x-1} $$

При делении целочисленных «соседей» x и (x-1 ) может получиться целый y только, если знаменатель $ x-1 = \pm 1 \Rightarrow x = 1 \pm 1 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = 0$

Получаем:

$$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x = 2 \\ y = \frac{2}{2-1} = 2 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x = 0 \\ y = \frac{0}{0-1} = 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. $$

Ответ:$\{(2;2),(0;0)\}$

$б) x^2-xy-x+y = 1$

$$x(x-y)-(x-y) = 1 \Rightarrow (x-1)(x-y) = 1 \Rightarrow x-y = \frac{1}{x-1} \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow y = x - \frac{1}{x-1} $$

Дробь $\frac{1}{x-1}$ будет целым числом только для $x-1 = \pm 1 \Rightarrow x = 1 \pm 1 \Rightarrow x_1 = 2,x_2 = 0$

Получаем:

$$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x = 2 \\ y = 2 - \frac{1}{2-1} = 1 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x = 0 \\ y = 0 - \frac{1}{0-1} = 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. $$

Ответ:$\{(2;1),(0;1)\}$