Метод неопределённых коэффициентов для разложения дроби на сумму простейших дробей
Простейшие дроби
Среди огромного разнообразия алгебраических дробей можно выделить те, что «попроще», например $\frac{1}{x}$ или $\frac{3}{x-4}$. У данных дробей знаменатель можно записать в виде (x-a); в первом случае a = 0, во втором a = 4.
Также, не слишком «сложными» кажутся дроби $\frac{5}{(x-3)}^2$ или $\frac{7}{(x+5)}^6$ . У этих дробей знаменатель вида $(x-a)^n$.
Если рассматривать знаменатели в виде квадратного трёхчлена $x^2+px+q$, то их либо можно разложить на множители, либо нельзя. Например:
$x^2+7x-30 = (x+10)(x-3)$ - на множители раскладывается.
$x^2+7x+30$ – не раскладывается.
Обобщая, получаем следующее определение:
Простейшими (элементарными) дробями называют дроби вида:
$$ 1. \frac{A}{x-a}, 2. \frac{A}{(x-a)^n}, 3. \frac{Ax+B}{x^2+px+q}, 4. \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n} $$
где трехчлен $x^2+px+q$ не раскладывается на множители $(p^2-4q \lt 0)$.
Примеры простейших дробей:
$$ \frac{2}{x+4}, \frac{3}{(x-15)^2}, \frac{2x+7}{x^2+3x+5}, \frac{4x-1}{(x^2+4)^2} $$
Оказывается, что:
Любая рациональная алгебраическая дробь может быть разложена на сумму простейших дробей, и притом единственным способом.
Алгоритм разложения дроби на сумму простейших дробей
Из определения получается, что дробь $\frac{4x+1}{x^2+7x-30} = \frac{4x+1}{(x+10)(x-3)}$ - не является простейшей.
Попробуем её разложить на две простейшие дроби следующим образом:
$$ \frac{4x+1}{(x+10)(x-3)} = \frac{A}{x+10} + \frac{B}{x-3} $$
$$ \frac{4x+1}{(x+10)(x-3)} = \frac{A(x-3)+B(x+10)}{(x+10)(x-3)} $$
Дроби равны, знаменатели равны, значит, должны быть равны и числители:
Теперь используем важнейшее свойство многочленов:
У равных многочленов коэффициенты при соответствующих степенях переменной равны.
Собираем коэффициенты:
$$ x^1 | 4 = A+B $$
$$x^0 | 1 = -3A+10B $$
Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (см. §43 справочника для 7 класса)
$$ {\left\{ \begin{array}{c} A+B = 4 | \times 3 \\ -3A+10B = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3A+3B = 12 \\ -3A+10B = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 4-B \\ 13B = 13 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 3 \\ B = 1 \end{array} \right.} $$
Получаем представление дроби в виде суммы простейших дробей:
$$ \frac{4x+1}{x^2+7x-30} = \frac{3}{x+10}+ \frac{1}{x-3}$$
Этот способ разложения был предложен в 17 веке Декартом и получил название «метода неопределённых коэффициентов».
Алгоритм метода неопределённых коэффициентов
- Разложить знаменатель рациональной дроби $\frac{Q(x)}{P(x)}$ на множители вида (x-a) и $(x^2+px+q), p^2-4q \lt 0$.
- Записать дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: $$ \frac{Q(x)}{P(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + ⋯ $$
- Привести сумму справа к общему знаменателю.
- У дробей слева и справа приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
- Решив полученную систему линейных уравнений, найти коэффициенты A,B,…
Примеры
Пример 1. Разложите на простейшие дроби:
а) $$ \frac{2x-7}{x^2+5x+6} $$
Раскладываем знаменатель на множители:$ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$
Записываем разложение с неопределенными коэффициентами:
$$ \frac{2x-7}{x^2+5x+6} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}$$
$$ \frac{2x-7}{x^2+5x+6} = \frac{A(x+3)+B(x+2)}{(x+2)(x+3)} $$
$$ 2x-7 = (A+B)x+(3A+2B) $$
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} A+B = 2 |\times 2 \\ 3A+2B = -7 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2A+2B = 4 \\ 3A+2B = -7 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = -11 \\ B = 2-A = 13 \end{array} \right.} $$
Получаем:
$$ \frac{2x-7}{x^2+5x+6} = -\frac{11}{x+2} + \frac{13}{x+3} $$
б) $$ \frac{4x+3}{x^2-1} $$
Раскладываем знаменатель на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$
Записываем разложение с неопределенными коэффициентами:
$$ \frac{4x+3}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} $$
4x+3 = A(x+1)+B(x-1)
4x+3 = (A+B)x+(A-B)
$$ {\left\{ \begin{array}{c} A+B = 4 \\ A-B = 3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2A = 7 \\ 2B = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 3 \\ B = 0,5 \end{array} \right.} $$
Получаем:
$$ \frac{4x+3}{x^2-1} = \frac{3,5}{x-1} + \frac{0,5}{x+1} $$
в) $$ \frac{x+15}{x^2-25} $$
Раскладываем знаменатель на множители: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$
Записываем разложение с неопределенными коэффициентами:
$$ \frac{x+15}{x^2-25} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+5} $$
x+15 = A(x+5)+B(x-5)
x+15 = (A+B)x+(5A-5B)
$$ {\left\{ \begin{array}{c} A+B = 1 | \times 5 \\ 5A+5B = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5A+5B = 5 \\ 5A-5B = 5\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 10A = 20 \\ B = 1-A \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 2 \\ B = -1 \end{array} \right.} $$
Получаем:
$$ \frac{x+15}{x^2-25} = \frac{2}{x-5} - \frac{1}{x+5} $$
г) $$ \frac{3x+8}{9x^2-4} $$
Раскладываем знаменатель на множители:$ 9x^2-4 = (3x-2)(3x+2)$
Записываем разложение с неопределенными коэффициентами:
$$ \frac{3x+8}{9x^2-4} = \frac{A}{3x-2} + \frac{B}{3x+2} $$
3x+8 = A(3x+2)+B(3x-2)
3x+8 = (3A+3B)x+(2A-2B)
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3A+3B = 3 \\ 2A-2B = 8 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A+B = 1 \\ A-B = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2A = 5 \\ 2B = -3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 2,5 \\ B = -1,5 \end{array} \right.} $$
Получаем:
$$ \frac{3x+8}{9x^2-4} = \frac{2,5}{3x-2} - \frac{1,5}{3x+2} $$
Пример 2*. Разложите на простейшие дроби:
а) $ \frac{7x+18}{x^3+6x^2+9x}$
$$ \frac{7x+18}{x^3+6x^2+9x} = \frac{7x+18}{x(x^2+6x+9)} = \frac{7x+18}{x(x+3)^2} = \frac{A^{/×2(x+3)}}{x} + \frac{B^{/×x(x+3)}}{x+3} + \frac{C^{/×x}}{(x+3)^2} $$
$$ 7x-11 = A(x+3)^2+Bx(x+3)+Cx = $$
$$ = A(x^2+6x+9)+B(x^2+3x)+Cx = (A+B) x^2+(6A+3B+C)x+9A $$
$$ {\left\{ \begin{array}{c} A+B = 0 \\ 6A+3B+C = 7 \\ 9A = 18 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 2 \\ B = -2 \\ C = 7-6A-3B = 7-12+6 = 1 \end{array} \right.} $$
Получаем:
$$ \frac{7x+18}{x^3+6x^2+9x} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x+3} + \frac{1}{(x+3)^2} $$
б) $ \frac{8x^3+3x^2-4}{x^4-16}$
$$ \frac{8x^3+3x^2-4}{x^4-16} = \frac{8x^3+3x^2-4}{(x^2-4)(x^2+4)} = \frac{8x^3+3x^2-4}{(x-2)(x+2)(x^2+4)} = $$
$$ = \frac{A^{/×(x+2)(x^2+4)}}{x-2} + \frac{B^{/×(x-2)(x^2+4)}}{x+2} + \frac{Cx+D^{/×(x^2-4)}}{x^2+4} $$
$$ 8x^3+3x^2-4 = A(x+2)(x^2+4)+B(x-2)(x^2+4)+(Cx+D)(x^2-4) = $$
$$ = A(x^3+2x^2+4x+8)+B(x^3+2x^2+4x-8)+C(x^3-4x)+D(x^2-4) = $$
$$ = (A+B+C) x^3+(2A+2B+D) x^2+(4A+4B-4C)x+(8A-8B-4D) $$
$$ {\left\{ \begin{array}{c} A+B+C = 8 \\ 2A+2B+D = 3 \\ 4A+4B-4C = 0 \\ 8A-8B-4D = -4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A+B+C = 8 \\ 2A+2B+D = 3 \\ A+B-C = 0 \\ 2A-2B-D = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2(A+B) = 8 \\ 2C = 8 \\ 4A = 2 \\ 4B+2D = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 0,5 \\ B = 4-A = 3,5 \\ C = 4 \\ D = 2-2B = -5 \end{array} \right.} $$
Получаем:
$$ \frac{8x^3+3x^2-4}{x^4-16} = \frac{0,5}{x-2} + \frac{3,5}{x+2} + \frac{4x-5}{x^2+4} $$
