Квадратные уравнения с параметром
Понятие уравнения с параметром и его решения
Часто на практике создаётся такая математическая модель, в которой приходится решать не одно, а целое «семейство» похожих уравнений.
Рассмотрим несложный пример.
Пусть нам дан прямоугольный участок площадью a. С точки зрения практической, мы хотим обнести участок забором, т.е. нас интересует зависимость периметра от длины x при некоторой площади a (ширина будет равна $\frac{a}{x}$):
$$ P(x,a) = 2 \Biggl(x+\frac{a}{x} \Biggr) $$
Допустим, у нас есть материалы, чтобы соорудить забор длиной 100 м.
Получаем уравнение:
$$ 2 \Biggl(x+\frac{a}{x} \Biggr) = 100 \Rightarrow x+\frac{a}{x} = 50 \overset{x \neq 0}\Rightarrow x^2-50x+a = 0 $$
Это – простейшее уравнение с параметром, в котором один из коэффициентов не задан конкретным числом.
Уравнение относительно переменной x с параметром a – это уравнение F(x,a), в котором значение a не определено и также является переменной величиной.
Решить уравнение с параметром – это найти множество корней ${x_i}$ для любого значения параметра a.
Решим наше уравнение. Найдём дискриминант:
$$ D = 50^2-4a = 2500-4a = 4(625-a) $$
Чтобы решения существовали, потребуем:
$$ D \ge 0 \Rightarrow 625-a \ge 0 \Rightarrow a \le 625 $$
Тогда: $x = \frac{50 \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{4(625-a)}}{2} = 25 \pm \sqrt{625-a}$.
Запишем ответ:
При $a \lt 625$ два корня $x_{1,2} = 25 \pm \sqrt{625-a}$
При a = 625 один корень $x_0 = 25$
При $a \gt 625$ решений нет
Наша модель немного усложнится, если мы поставим условия, чтобы площадь и длина были строго положительными:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x^2-50x+a = 0 \\ a \gt 0 \\ x \gt 0 \end{array} \right.} $$
Исследуем решение. Полученный корень $x_2 = 25+ \sqrt{625-a} \ge 25 \gt 0$ - положительный. И $x_1 = 25- \sqrt{625-a}$ при $0 \lt a \lt 625$ меняется в пределах $0 \lt x_1 \lt 25$, т.е. также положительный.
Запишем ответ для модели с условиями:
При $0 \lt a \lt 625$ два корня $x_{1,2} = 25 \pm \sqrt{625-a}$
При a = 625 один корень $x_0$ = 25
При $a \gt 625$ решений нет
Ответ изменился незначительно, но чтобы его записать, нам пришлось провести дополнительное исследование.
Решить уравнение с параметром F(x,a) при дополнительных условиях на переменную x и параметр a – это найти допустимое множество корней $\{x_i \}$ для любого допустимого значения параметра a.
Заметим, что согласно полученным результатам, максимальная площадь, которую мы можем огородить нашим забором длиной 100 м, равна a = 625 $м^2$. Участок при этом представляет собой квадрат с длиной $x_0 = 25$ м и шириной $ \frac{a}{x_0} = 25$ м.
Примеры
Пример 1. При каких p квадрат разности корней уравнения $x^2-4x+p = 0$ равен 32?
Пусть $x_1, x_2$ - корни уравнения. По теореме Виета и условию задачи:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2 = 4 \\ x_1 x_2 = p \\ x_1^2-x_2^2 = 32 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2 = 4 \\ x_1 x_2 = p \\ (x_1+x_2 )(x_1-x_2 ) = 32 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2 = 4 \\ x_1-x_2 = 8 \\ x_1 x_2 = p \end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2x_1 = 4+8 = 12 \\ 2x_2 = 4-8 = -4 \\ x_1 x_2 = p \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x_1 = 6 \\ x_2 = -2 \\ p = 6 \cdot (-2) = -12 \end{array} \right.} $$
Ответ: p = -12
Пример 2. При каких значениях a уравнение
$$ x^2-(a+2)x+a+5 = 0 $$
имеет один корень? Найдите этот корень.
Найдём дискриминант:
$$ D = (a+2)^2-4(a+5) = a^2+4a+4-4a-20 = a^2-16 $$
Уравнение имеет один корень, если D = 0:
$$ a^2-16 = 0 \Rightarrow a = \pm 4 $$
При a = -4 уравнение имеет вид $x^2+2x+1 = 0$, т.е. $(x+1)^2 = 0$, $x_0 = -1$
При a = 4 уравнение имеет вид $x^2-6x+9 = 0$, т.е. $(x-3)^2 = 0, x_0 = 3$
Ответ:
При a = -4, $x_0$ = -1
При a = 4, $x_0$ = 3
Пример 3. Найдите такое p, чтобы уравнения
$$ x^2+x+p = 0 и x^2+px+1 = 0 $$
имели общий корень. Найдите этот корень.
Общий корень означает, что параболы пересекаются в точке, лежащей на оси OX.
$$ x^2+x+p = x^2+px+1 $$
$$ x(1-p) = 1-p \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} p = 1 \\ x \in \Bbb R - любой \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} p \neq 1 \\ x = 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. $$
При p = 1 уравнения совпадают $x^2+x+1 = 0$, но решений не имеют, т.к. $D \lt 0$.
При x = 1 уравнения парабол имеют вид: $p+2 = 0 \Rightarrow p = -2$.
Ответ:
При p = 2 уравнения имеют общий корень x = 1.
Пример 4. Найдите все целые значения a, при которых уравнение $\frac{4-a}{x^2-2x+4} = \frac{1}{a}$ имеет решение.
$$ \frac{4-a}{x^2-2x+4} = \frac{1}{a} \iff {\left\{ \begin{array}{c} a(4-a) = x^2-2x+4 \\ a \neq 0 \end{array} \right.} $$
Особая точка: a = 4. Уравнение $x^2-2x+4 = 0$ решений не имеет, т.к. $D \lt 0$.
Решаем уравнение в общем виде:
$$ x^2-2x+4-a(4-a) = 0 $$
$$ x^2-2x+a^2-4a+4 = 0 $$
$$ x^2-2x+(a-2)^2 = 0 $$
$$ D = 2^2-4(a-2)^2 = 4(1-(a-2) )(1+a-2) = 4(3-a)(a-1) = $$
$$ = -4(a-3)(a-1) $$
Потребуем $D \ge 0$
$$ -4(a-3)(a-1) \ge 0 \Rightarrow (a-3)(a-1) \le 0 $$
Начертим график параболы
$$ f(a) = (a-3)(a-1) = a^2-4a+3 $$
Значение $f(a) \le 0$ не положительно, только на отрезке
$$ 1 \le a \le 3 $$
Это значит, что $D \ge 0$, и уравнение имеет решения, только при трёх целочисленных a $\in$ {1;2;3}
При a = 1 и a = 3 D = 0, уравнение имеет вид $x^2-2x+1 = 0$ и одно решение $x_0 = 1$.
При a = 2 уравнение имеет вид: $x^2-2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 0 \\ x_2 = 2 \end{array} \right. $
Ответ:
При a = 1 и a = 3 один корень $x_0 = 1$
При a = 2 два корня $x_1 = 0, x_2 = 2$
При всех других целых a уравнение решений не имеет.
Пример 5. При каких b и c уравнение $x^2+bx+c = 0$ имеет корнями b и c?
По условию $x_1 = b, x_2 = c$
По теореме Виета:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2 = b+c = -b \\ x_1 x_2 = bc = c \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} c = -2b = -2 \\ b = 1\end{array} \right.} $$
Уравнение $x^2+x-2 = 0$ имеет корнями 1 и -2.
Ответ: b = 1, c = -2
Пример 6. Найдите все значения параметра a, при которых уравнения
$$ x^2+(a^2+3a+7)x = 0 и x^2+(4a+19)x+(a^2+7a-44) = 0 $$
имеют один и те же решения.
Старшие коэффициенты парабол одинаковы и равны 1.
Параболы будут иметь одинаковые решения в том случае, если будут полностью совпадать, т.е.:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} a^2+3a+7 = 4a+19 \\ 0 = a^2+7a-44 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a^2-a-12 = 0 \\ a^2+7a-44 = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} (a-4)(a+3) = 0 \\ (a-4)(a+11) = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow a = 4 $$
Кроме того, они могли бы совпадать, если бы все переменные коэффициенты одновременно стали равны 0:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} a^2+3a+7 = 0 \\ 4a+19 = 0 \\ a^2+7a-44 = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} D \lt 0, a \in \varnothing \\ a = - \frac{19}{4} \\ a = \{-11;4 \} \end{array} \right.} \Rightarrow a \in \varnothing $$
Таких a нет.
Ответ: a = 4
Пример 7. Решите уравнение:
$$ x^2-(a-1)x+(a+2)(a-1) = 0$$
Дискриминант:
$$ D = (a-1)^2-4(a+2)(a-1) = $$
$$ = (a-1)(a-1-4(a+2) ) = (a-1)(-3a-9) = -3(a-1)(a+3) $$
Начертим график
$$ D(a) = -3(a-1)(a+3) = -3a^2-6a+9 $$
$$ D(a) = 0 при a = \{-3;1 \} $$
При a = 1 уравнение имеет вид $x^2 = 0$ и один корень $x_0 = 0$
При a = -3 уравнение имеет вид
$$ x^2+4x+4 = 0, т.е. (x+2)^2 = 0, $$
один корень $x_0 = -2$
$$ D(a) \gt 0 при -3 \lt a \lt 1 $$
Уравнение имеет два корня:
$$ x_{1,2} = \frac{a-1 \pm \sqrt{-3(a-1)(a+3)}}{2} $$
$$ D(a) \lt 0 при a \lt -3 \cap a \gt 1 $$
Решений нет.
Ответ:
При a = -3 один корень $x_0 = -2$
При a = 1 один корень $x_0 = 0$
При $-3 \lt a \lt 1$ два корня $x_{1,2} = \frac{a-1 \pm \sqrt{-3(a-1)(a+3)}}{2}$
При других a решений нет.
