Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и степени

Примеры

Про основные тождества для квадратных корней, см.§20 данного справочника.

Пример 1. Найдите значение выражения:

а) $ -0,3 \cdot \sqrt{(-10)^6} = -0,3 \cdot |(-10)^{\frac{6}{2}}| = -0,3 \cdot 1000 = -300 $

б)$ 5 \cdot \sqrt{2^4} = 5 \cdot 2^{\frac{4}{2}} = 5 \cdot 4 = 20 $

в)$ -7 \cdot \sqrt{0,1^4} = -7 \cdot (0,1)^{\frac{4}{2}} = -7 \cdot 0,01 = -0,07 $

г)$ - \sqrt{(-2)^8} = - |(-2)^{\frac{8}{2}}| = -16$

Пример 2. Выполните действия:

$ а) \sqrt{12}- \sqrt{48}+ \sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 4}-\sqrt{3 \cdot 16} +\sqrt{3 \cdot 25} = 2 \sqrt{3}-4 \sqrt{3}+5 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} $

$ б) \sqrt{8} + \sqrt{200} - \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 4} + \sqrt{2 \cdot 100} -\sqrt{2 \cdot 9} = 2 \sqrt{2}-10 \sqrt{2}-3 \sqrt{2} = 9 \sqrt{2} $

$ в) \frac{6 \sqrt{32}+7\sqrt{72}}{\sqrt{242}} = \frac{6 \sqrt{2 \cdot 16} +7\sqrt{2 \cdot 36}}{\sqrt{2\cdot 121}} = \frac{6\cdot4\sqrt{2}+7\cdot6\sqrt{2}}{11\sqrt{2}} = \frac{66\sqrt{2}}{11\sqrt{2}} = 6 $

$ г) \frac{5 \sqrt{27}+3\sqrt{108}}{\sqrt{243}} = \frac{5 \sqrt{3 \cdot 9} -3\sqrt{3 \cdot 36}}{\sqrt{3\cdot 81}} = \frac{5\cdot 3\sqrt{3}- 3 \cdot 6 \sqrt {3}}{9 \sqrt{3}} = \frac{-3 \sqrt{3}}{9 \sqrt{3}} = -\frac{1}{3} $

$ д) \sqrt{15+\sqrt{29}} \cdot \sqrt{15-\sqrt{29}} = \sqrt{15^2- (\sqrt{29})^2} = \sqrt{225-29} = \sqrt{196} = 14 $

Пример 3. Упростите выражение:

а) $(2+\sqrt{x})(\sqrt{x}+3) = 2\sqrt{x}+6+(\sqrt{x})^2+3\sqrt{x} = x+5\sqrt{x}+6 $

б)$ (7-\sqrt{a})(\sqrt{a}+1) = 7\sqrt{a}+7-(\sqrt{a})^2-\sqrt{a} = -a+6\sqrt{a}+7 $

в) $ (\sqrt{b}-4)(\sqrt{b}+4) = (\sqrt{b})^2-4^2 = b-16 $

г)$ (\sqrt{x}+6)^2 = (\sqrt{x})^2+12\sqrt{x}+36 = x+12\sqrt{x}+36 $

д) $ \frac{a-1}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}-1} = \sqrt{a}+1$

е) $ \frac{x-8 \sqrt{x}+16}{x-16} = \frac{(\sqrt{x}-4)^2}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)} = \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+4}$

ж) $\frac{(\sqrt{5}+1)^2}{3+\sqrt{5}} = \frac{5+2\sqrt{5}+1}{3+\sqrt{5}} = \frac{6+2\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})} = 2$

з) $ \frac{6-\sqrt{11}}{(\sqrt{11}-1)^2} = \frac{6-\sqrt{11}}{11-2\sqrt{11}+1} = \frac{6-\sqrt{11}}{12-2\sqrt{11}} = \frac{6-\sqrt{11}}{2(6-\sqrt{11})} = \frac{1}{2}$

Пример 4. Упростите выражение:

$$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{y-x} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x}-\sqrt{y}-(\sqrt{x}+\sqrt{y}))}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})} \cdot \frac{(y-x)}{\sqrt{x} \sqrt{y}} = $$

$$ = -\frac{2 \sqrt{x} \sqrt{y}}{x-y} \cdot (- \frac{x-y}{\sqrt{x} \sqrt{y}}) = 2$$

Замена: $a = \sqrt{x}, b = \sqrt{y}$

Тогда: $x = a^2$, $y = b^2$. Получаем:

$$ (\frac{a}{a+b} - \frac{a}{a-b}): \frac{ab}{b^2-a^2} = \frac{a(a-b-(a+b) )}{(a+b)(a-b)} \cdot \frac{(b^2-a^2 )}{ab} = $$

$$ = \frac{-2ab}{a^2-b^2} \cdot (-\frac{a^2-b^2}{ab}) = 2 $$

Пример 5*. Вычислите:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} $$

Заметим, что:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1 $$

$$ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2} $$

$$ … $$

$$ \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} \cdot \frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\sqrt{100}-\sqrt{99}} = \frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99} = \sqrt{100}-\sqrt{99} $$

Получаем:

$ \sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3} +⋯+ \sqrt{100}- \sqrt{99} = \sqrt{100}-1 = 10-1 = 9 $

Ответ: 9