График квадратного трёхчлена

График функции y = ax²

Начертим на одном чертеже три графика:

$$ y = x^2, y = 2x^2, y = \frac{1}{2} x^2 $$

Свойства графика y = ax²

1. При любом a графиком функции $y = ax^2$ является парабола, с осью симметрии OY.

2. Если $a \gt 0$, ветки параболы $y = ax^2$ направлены вверх, точка минимума находится в начале координат; при $x \lt 0$ функция убывает, при $x \gt 0$ функция возрастает.

Если $a \lt 0$, ветки параболы $y = ax^2$ направлены вниз, точка максимума находится в начале координат; при $x \lt 0$ функция возрастает, при $x \gt 0$ функция убывает.

3. Если $a \gt 1$, парабола $y = ax^2$ быстрее уходит на бесконечность, чем $y = x^2$, её ветки расположены ближе к оси Y. Чем больше параметр a, тем больше сужаются ветки.

Если $0 \lt a \lt 1$, парабола $y = ax^2$ медленней уходит на бесконечность, чем $y=x^2$, её ветки расположены дальше от оси Y. Чем меньше параметр a, тем больше расходятся ветки от оси OY.

4. Для отрицательных значений $a \lt 0$ ветки сужаются или расходятся аналогично.

График функции y = ax²+c

Начертим на одном чертеже три графика:

$$ y = x^2, y = x^2+2, y = x^2-2 $$

Прибавление двойки поднимает каждую точку исходного графика $y = x^2$ на 2 единицы вверх.

Вычитание двойки – опускает каждую точку на 2 единицы вниз.

Координаты вершины параболы $y = ax^2+c$ в общем случае: (0;c)

Свойства графика y = ax²+c

График $y = ax^2+c$ наследует все свойства графика y=ax² с той разницей, что вершина параболы теперь находится не в начале координат, а в точке (0;c) на оси OY.

График функции y = a(x+d)²

Начертим на одном чертеже три графика: $y = x^2, y = (x+2)^2, y = (x-2)^2$

Прибавление двойки перед возведением в квадрат сдвигает исходный график $y = x^2$ на две единицы влево. Вычитание двойки – на две единицы вправо.

В общем случае у параболы $y = a(x+d)^2$ координаты вершины (–d;0).

Свойства графика y = a(x+d)²

График $y = a(x+d)^2$ наследует все свойства графика $y = ax^2$ с той разницей, что вершина параболы теперь находится не в начале координат, а в точке (-d;0) на оси OX.

График квадратного трёхчлена y = ax²+bx+c

Чтобы проследить перемещение вершины графика $y = ax^2+bx+c$ по сравнению с параболой $y = ax^2$, перепишем квадратный трёхчлен в таком виде:

$$ ax^2+bx+c = \frac{4a(ax^2+bx+c)}{4a} = \frac{4a^2 x^2+4abx+4ac}{4a} = $$

$$ = \frac{(4a^2 x^2+4abx+b^2 )- b^2+4ac}{4a} = \frac{(2ax+b)^2}{4a} - \frac{b^2-4ac}{4a} = $$

$$ = \frac{(2a(x+b/2a) )^2}{4a} - \frac{b^2-4ac}{4a} = \frac{4a^2 (x+ \frac{b}{2a})^2}{4a} - \frac{b^2-4ac}{4a} = $$

$$ = a(x+ \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}$$

Учитывая, что $D = b^2-4ac$, получаем:

$$ ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{D}{4a} $$

Разберём полученный результат.

Как мы уже знаем, параметр a отвечает за направление веток параболы ($a \gt 0$ - ветки вверх, $a \lt 0$ – ветки вниз). Также, параметр a отвечает за сужение или расширение параболы ($|a| \gt 1$ - парабола сужается, $|a| \lt 1$ - парабола расширяется).

Слагаемое $ \frac{b}{2a}$ в скобке $\left(\frac{x+b}{2a} \right)^2$ сдвигает вершину параболы влево.

Слагаемое $(-\frac{D}{4a})$ опускает вершину параболы вниз.

Например:

Построим график $y = x^2+4x-1$ по точкам:

Параметры параболы a = 1, b = 4, c = -1

Проверим формулу для координат вершины:

$$ -\frac{b}{2a} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = -2, - \frac{b^2-4ac}{4a} = - \frac{4^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)}{4 \cdot 1} = -5 $$

Ось симметрии: $ x = -\frac{b}{2a} = -2$

$a = 1 \gt 0$ - у нас парабола ветками вверх. С минимумом в вершине (-2;-5)

Все практические результаты согласуются с теоретическими.

Поэтому, кроме элементарного построения параболы $y = ax^2+bx+c$ по точкам, предлагается следующий общий алгоритм.

Общий алгоритм построения параболы y=ax²+bx+c

1. Построить ось симметрии $x = -\frac{b}{2a}$, проходящую через точку $\left(-\frac{b}{2a};0\right)$ параллельно оси OY.

2. Найти дискриминант $D = b^2-4ac$. По его знаку определить количество точек пересечения параболы с осью OX.

3. Отметить на оси симметрии точку $\left(-\frac{b}{2a};-\frac{D}{4a} \right)$ - это вершина параболы.

4. По знаку a определить направление ветвей параболы.

5. Отметить точку (0;c) пересечения параболы с осью OY.

6. Отметить точку $\left(–\frac{b}{a}, c \right)$, симметричную точке (0;c) относительно оси симметрии.

7. Если необходимо, используя симметрию, отметить ещё несколько вспомогательных точек.

Например: если $D \gt 0$, можно отметить две точки $x_1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ на оси OX, они будут симметричны относительно оси симметрии.

8. Соединить полученные точки кривой.

Примеры

Пример 1. Решите уравнения графически:

Пример 2. Параболе принадлежат три точки: A(0;2),B(2;-2),C(5;7).

Найдите уравнение параболы.

Пусть уравнение параболы $y = ax^2+bx+c$

По условию:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a \cdot 0^2+b \cdot 0+c = 2 \\ a \cdot 2^2+ b \cdot 2+c = -2 \\ a \cdot 5^2+ b \cdot 5+c = 7 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} c = 2 \\ 4a+2b+c = -2 \\ 25a+5b+c = 7 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} c = 2 \\ 4a+2b = -4 \\ 25a+5b = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} c = 2 \\ 2a+b = -2 \\ 5a+b = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} c = 2 \\ 3a = 3 \\ b = 1-5a \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = -4 \\ c = 2 \end{array} \right.}$$

Искомое уравнение:

$$y = x^2-4x+2$$