График дробно-линейной функции
Построение графика функции $y = \frac{x+1}{x-1}$ последовательными преобразованиями гиперболы $y = \frac{1}{x}$
Начнём исследование с построения графика для $y = \frac{x+1}{x-1}$.
Выделим целую часть в дроби: $y = \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1)+2}{x-1} = 1+ \frac{2}{x-1}$
Согласно §47-48 данного справочника, эта функция последовательно получается из гиперболы
$$ y = \frac{1}{x} \xrightarrow{2f(x)} y = \frac{2}{x} \xrightarrow{2f(x-1)} y = \frac{2}{x-1} \xrightarrow{2f(x-1)+1} y = \frac{2}{x-1} +1 $$
Шаг 1. 2f(x) – функция $y = \frac{1}{x}$ растягивается в 2 раза по оси OY, получаем $y = \frac{2}{x}$
Шаг 2. 2f(x-1) – функция $y = \frac{2}{x}$ сдвигается вправо на 1 по оси OX, получаем $y = \frac{2}{x-1}$
Шаг 3. 2f(x-1)+1 - функция $ y = \frac{2}{x-1}$ сдвигается вверх на 1 по оси OY, получаем $y = \frac{2}{x-1}+1$.
Анализ асимптот
Итоговым графиком $y = \frac{x+1}{x-1}$ является гипербола.
Ветки гиперболы ограничены двумя прямыми, которые называют асимптотами.
Ветки на бесконечности стремятся к этим прямым, но никогда их не достигают.
Рассмотрим смещение асимптот при построении.
Для исходного графика $y = \frac{1}{x}$ асимптотами являются оси координат, x=0,y=0
Для графика $y = \frac{2}{x}$ оси координат остаются асимптотами.
Для графика $y = \frac{2}{x-1}$ происходит сдвиг вправо, асимптоты x=1,y=0
Для графика $y = \frac{2}{x-1}+1$ происходит сдвиг вверх, конечные асимптоты x = 1, y = 1
Асимптоты служат хорошим ориентиром для построения графика гиперболы.
В данном случае, достаточно построить гиперболу $y = \frac{2}{x}$ и переместить её параллельным переносом, заданным переносом точки пересечения асимптот из (0;0) в (1;1).
Алгоритм построения графика дробно-линейной функции
На входе
$$ y = \frac{ax+b}{cx+d}, c \neq 0, ad-bc \neq 0 $$
Шаг 1. Выделить целую часть из дроби и представить её в виде $y = \frac{A}{x+B}+C$
Шаг 2. Построить график $y = \frac{A}{x}$.
Шаг 3. Построить горизонтальную асимптоту x = -B.
Шаг 4. Построить вертикальную асимптоту y = C.
Шаг 5. Переместить исходный график $y = \frac{A}{x}$ параллельным переносом точки пересечения асимптот из (0;0) в (-B;C).
Если необходимо, отметить дополнительные точки, соединить кривой.
Гипербола $y = \frac{A}{x+B}+C$ построена.
Примеры
Пример 1. Постройте график функции $y = \frac{x+1}{x-3}$
Выделяем целую часть: $y = \frac{x+1}{x-3} = \frac{(x-3)+4}{x-3} = \frac{4}{x-3} +1$
Исходная гипербола $y = \frac{4}{x}$.
Асимптоты: x = 3, y = 1.
Получаем:
Пример 2. Постройте график функции $y = \frac{x}{x+2}$
Выделяем целую часть: $y = \frac{x}{x+2} = \frac{(x+2)-2}{x+2} = \frac{2}{x+2} +1$
Исходная гипербола $y = -\frac{2}{x}$.
Асимптоты: x = -2, y = 1.
Получаем:
Пример 3*. Постройте график функции $y = \frac{2x^2-8x}{x^2-7x+12}$
Преобразуем дробь:
$$ y = \frac{2x^2-8x}{x^2-7x+12} = \frac{2x(x-4)}{(x-3)(x-4)} = {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2x}{x-3} \\ x \neq 4 \end{array} \right.} $$
$x \neq 4$ - исключенная точка.
Выделим целую часть:
$$ y = \frac{2x}{x-3} = \frac{2x-6+6}{x-3} = \frac{2(x-3)+3}{x-3} = \frac{3}{x-3} +2 $$
Исходная гипербола $y = \frac{3}{x}$.
Асимптоты: x = 3, y = 2.
Учитывая исключенную точку, получаем:
