Функция y = √x. Свойства и график
График и свойства функции $y = \sqrt{x}$
Составим таблицу для расчёта значений функции $y = \sqrt{x}$.
|
x |
0 |
0,25 |
1 |
2,25 |
4 |
6,25 |
9 |
12,25 |
16 |
|
$y = \sqrt{x}$ |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,25 |
3 |
3,5 |
4 |
Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их кривой:
Свойства функции $y = \sqrt{x}$
1. Область определения $x \in [0;+\infty)$ - все неотрицательные действительные числа.
2. Область значений $y \in [0;+\infty)$ - все неотрицательные действительные числа.
3. Наименьшее значение функции y = 0 при x = 0.
4. Функция возрастает на всей области определения.
Т.к. функция возрастает, при сравнении возводим корни в квадрат; знак сохраняется:
$$ \sqrt{a} \lt \sqrt{b} \iff a \lt b $$
$$ \sqrt{a} = \sqrt{b} \iff a = b $$
$$ \sqrt{a} \gt \sqrt{b} \iff a \gt b $$
Если сравнить полученную кривую с графиком параболы $y = x^2$ (см. §18 данного справочника), то график $y = \sqrt{x}$ симметричен положительной ветви параболы, ось симметрии – биссектриса 1-й четверти координатной плоскости.
Таким образом, график функции $y = \sqrt{x}$ - это ветвь параболы.
Примеры
Пример 1. Используя графики функций $y = \sqrt{x}$, y = x и $y = x^2$, расположите числа в порядке возрастания. Сделайте вывод.
а)
$0,8; 0,8^2 и \sqrt{0,8}$
$0,8^2 \lt 0,8 \lt \sqrt{0,8}$
б)
$1,2^2; \sqrt{1,2} и 1,2$
$ \sqrt{1,2} \lt 1,2 \lt 1,2^2$
Вывод
В зависимости от значения числа x, корень, само число и его квадрат будут упорядочены следующим образом:
x
Порядок $x, \sqrt{x}, x^2$
0 или 1
$x = \sqrt{x} = x^2$
$0 \lt x \lt 1$
$x^2 \lt x \lt \sqrt{x}$
$x \gt 1$
$\sqrt{x} \lt x \lt x^2$
Пример 2. Сравните числа:
а)$ \sqrt{0,7}$ и 1
$(\sqrt{0,7})^2 ? 1^2$
$0,7 \lt 1 \Rightarrow \sqrt{0,7} \lt 1$
б)$ \sqrt{0,17} и 0,4$
$ (\sqrt{0,17})^2 ? 0,4^2 $
$ 0,17 \gt 0,16 \Rightarrow \sqrt{0,17} \gt 0,4 $
$ в) \sqrt{0,7} и-1 $
$ \sqrt{0,7} \gt 0 \gt -1 \Rightarrow \sqrt{0,7} \gt -1 $
$ г) \sqrt{2,3} и \sqrt{2 \frac{1}{3}} $
$ 2 \frac{1}{3} = 2,333… = 2,(3) \gt 2,3 $
$ 2,3 \lt 2,(3) \Rightarrow \sqrt{2,3} \lt \sqrt{2 \frac{1}{3}} $
Пример 3. Расположите числа в порядке возрастания:
$ а) \sqrt{0,4}; \frac{1}{3}; \sqrt{\frac{2}{9}}; \sqrt{3 \frac{1}{3}}; 1,8 $
Возведем весь ряд чисел в квадрат: $ 0,4; \frac{1}{9}; \frac{2}{9};3 \frac{1}{3};3,24 $
Расположим по возрастанию: $\frac{1}{9};\frac{2}{9};0,4;3,24; \sqrt{3 \frac{1}{3}}$
Опять вернёмся к корням:
$$ \frac{1}{3}; \sqrt{\frac{2}{9}}; \sqrt{0,4}; 1,8; \sqrt{3 \frac{1}{3}} $$
$ б) 0,7;-1; \sqrt{0,2};-0,5;\sqrt{0,25} $
(!) Уберем из ряда отрицательные числа: -1;-0,5
Оставшиеся числа возведём в квадрат: 0,49;0,2;0,25
Вернёмся к корням из оставшихся чисел: $\sqrt{0,2}; \sqrt{0,25}; 0,7$
Расположим всё по возрастанию:
$$ -1;-0,5; \sqrt{0,2}; \sqrt{0,25};0,7 $$
Пример 4. Решите уравнение графически:
а)
$ \sqrt{x} - \frac{8}{x} = 0 $
$ \sqrt{x} = \frac{8}{x} $
Чертим два графика:
$y = \sqrt{x} и y = \frac{8}{x}$
Ответ: x = 4
б)
$x+ \sqrt{x} = 2$
$ \sqrt{x} = -x+2 $
Чертим два графика:
$y = \sqrt{x} и y = -x+2$
Ответ: x = 1
в*)
$ \sqrt{|2x-1|} = 1 $
Область определения:
$x \in \Bbb R$, выражение под корнем всегда неотрицательно.
$ \sqrt{|2x-1|} = 1 \iff |2x-1| = 1 $
Чертим два графика:
$y = |2x-1| и y = 1$
Ответ: x = 1
г*)
$ \sqrt{|2x-1|} = \sqrt{2-x} $
Область определения: $x \le 2$
$ \sqrt{|2x-1|} = \sqrt{2-x} $
$ \iff {\left\{ \begin{array}{c} |2x-1| = \sqrt{2-x} \\ x \le 2 \end{array} \right.}$
Чертим два графика:
y = |2x-1| и y = x
и выбираем корни слева от 2.
Ответ: $ x_1 = -1, x_2 = 1 $
