Функция y = k/x и её график. Гипербола
Определение обратной пропорциональности
О прямоугольной системе координат на плоскости и графическом способе задания функций – см. §35-36 справочника для 7 класса.
Допустим, что у нас есть 1000 руб. Спрашивается, сколько тетрадей мы сможем купить, в зависимости от их цены. Составим таблицу:
Цена 1 тетради, руб.
25
50
100
125
200
250
500
Кол-во, шт.
40
20
10
8
5
4
2
Графическое представление полученных результатов:
Результат вполне ожидаемый: чем больше цена, тем меньше то количество, которое мы можем себе позволить за определённую ограниченную сумму.
Можно привести и другие примеры, где зависимость между величинами будет аналогичной:
- время, которое придётся потратить на дорогу между двумя городами (при заданном расстоянии), в зависимости от скорости;
- длина фанерного листа в зависимости от ширины при заданной площади;
- время заполнения бассейна (заданный объём) в зависимости от количества открытых труб, и т.п.
Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:
$${\left\{ \begin{array}{c} -\infty \lt x \lt +\infty - аргумент, \quad любое \quad действительное \quad число \\ k = const \neq 0-параметр, \quad константа \\ y = \frac{k}{x} - функция \end{array} \right.}$$
Функция такого вида называется обратной пропорциональностью.
Если $k \gt 0$, то чем больше x, тем меньше y – функция убывает.
Если $k \lt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция возрастает.
(Сравните с прямой пропорциональностью – см. §37 справочника для 7 класса)
График обратной пропорциональности
Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой.
Чтобы построить гиперболу, нужно 1) составить таблицу, в которой рассчитать значения y=k/x для некоторых значений x, 2) отметить полученные точки на координатной плоскости и 3) соединить их плавной кривой.
Например: $y = \frac{8}{x}$
x
-8
-4
-2
-1
1
2
4
8
y
-1
-2
-4
-8
8
4
2
1
Свойства графика обратной пропорциональности:
- Гипербола не пересекает осей координат, приближаясь к осям, она изгибается и «убегает» на бесконечность.
- У гиперболы две ветки. Если $k \gt 0$, ветки лежат в 1 и 3 четверти, если $k \lt 0$, во 2 и 4 четверти.
- Ветки гиперболы симметричны относительно начала координат. Поэтому достаточно рассчитать одну ветку, а вторую начертить как отображение первой.
- Ветки гиперболы симметричны относительно биссектрис соответствующих четвертей: при $k \gt 0$ – относительно биссектрисы 1 и 3 четверти, при $k \gt 0$ – 2 и 4 четверти.
Примеры
Пример 1. Постройте графики следующих функций
а) y = $\frac{4}{x}$
б) y = $-\frac{4}{x}$
Пример 2. Постройте на одном чертеже графики функций
$$ y = \frac{1}{x}, y = \frac{3}{x}, y = \frac{-3}{x} $$
Сделайте выводы.
x
$\frac{1}{x}$
$\frac{3}{x}$
$- \frac{3}{x}$
0,25
4
12
-12
0,5
2
6
-6
1
1
3
-3
2
0,5
1,5
-1,5
4
0,25
0,75
-0,75
Чем больше k по абсолютной величине, тем дальше от начала координат пересечение графика с биссектрисой соответствующей четверти («изгиб» графика).
При изменении знака k на противоположный график отражается относительно осей координат.
Пример 3. Постройте на одном чертеже графики функций
$$ y = \frac{x}{3}, y = \frac{3}{x} $$
Решите с помощью графиков уравнение: $ \frac{x}{3} = \frac{3}{x}$.
При каких x выполняется неравенство $ \frac{x}{3} \gt \frac{3}{x}$?
Уравнение $\frac{x}{3} = \frac{3}{x}$ имеет два корня: $x_{1,2} = \pm3$.
Неравенство $\frac{x}{3} \gt \frac{3}{x}$ выполняется при $ x \in \Bbb (-3;0) \bigcup (3;+\infty)$.
