Формула корней квадратного уравнения

Дискриминант и решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение $ax^2+bx+c = 0, a \neq 0$ в общем виде:

$$ ax^2+bx+c=0 | \times 4a $$

$$ 4a^2 x^2+4abx+4ac = 0 |+b^2 $$

$$ ((2ax)^2+2 \cdot 2ax\cdot b+b^2 )+4ac = b^2 $$

$$ (2ax+b)^2 = b^2-4ac $$

Если выражение справа неотрицательное, то:

$$ 2ax+b = \pm \sqrt{b^2-4ac} $$

И решение нашего уравнения:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

Общий алгоритм решения квадратного уравнения

Ниже представлен полный алгоритм решения квадратного уравнения на множестве действительных чисел.

В зависимости от выполнения условий (в ромбах), в алгоритме происходит ветвление. Всего на ветках «вырастает» 11 листьев – 11 возможных решений.

Если условие в ромбе выполняется, выход обозначен синей веткой, не выполняется – красной. Над некоторыми ветками для наглядности представлены текущие значения параметров.

В простейшем (в математике говорят, «тривиальном») случае, при всех нулевых коэффициентах, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Три ветки заканчиваются пустым множеством, с отсутствием решений.

Четыре ветки дают по одному корню, и три ветки дают по два корня.

Примеры

Пример 1. Решите уравнение, вычислив дискриминант:

$ а) 5x^2+24x-5 = 0$

$$ D = 24^2-4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576+100 = 676 = 26^2 $$

$$ x = \frac{-24 \pm 26}{2 \cdot 5} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -5 \\ x_2 = \frac{1}{5} \end{array} \right. $$

$ б) 3p^2-19p-14 = 0 $

$$ D = 19^2-4 \cdot 3 \cdot (-14) = 361+168 = 529 = 23^2 $$

$$ p = \frac{19 \pm 23}{2 \cdot 3} = \left[ \begin{array}{cc} p_1 = -\frac{2}{3} \\ p_2 = 7 \end{array} \right. $$

$в) 12x^2+4x-1 = 0$

$$ D = 4^2-4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16+48 = 64 = 8^2 $$

$$ x = \frac{-4 \pm 8}{2 \cdot 12} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -\frac{1}{2} \\ x_2 = \frac{1}{6} \end{array} \right. $$

$г) 16y^2-24y+9 = 0$

$$ D = 24^2-4 \cdot 16 \cdot 9 = 576-576 = 0 $$

$$ y = \frac{24}{2 \cdot 16} = \frac{3}{4} $$

$ д) 7a^2+53a-24 = 0 $

$$D = 53^2-4 \cdot 7 \cdot (-24) = 2809+672 = 3481 = 59^2$$

$$ x = \frac{-53 \pm 59}{2 \cdot 7} = \left[ \begin{array}{cc} a_1 = -\frac{8}{3} \\ a_2 = \frac{3}{7} \end{array} \right. $$

$е) 6x^2-3x+4 = 0$

$$ D = 3^2-4 \cdot 6 \cdot 4 = 9-96 = -87 \lt 0 $$

$x \in \varnothing$, решений нет

Пример 2. Решите уравнения:

$ а) \frac{x+5}{9} = \frac{3}{x-1} $

ОДЗ: $x \neq 1$

$(x+5)(x-1) = 27 $

$ x^2+4x-5-27 = 0 $

$x^2+4x-32 = 0 $

$D = 4^2-4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16+128 = 144 = 12^2 $

$ x = \frac{-4 \pm 12}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -8 \\ x_2 = 4 \end{array} \right. $

$б) \frac{x}{x+7}+ \frac{x}{x-7} = -\frac{1}{24}$

ОДЗ: $x \neq \pm7$

$ \frac{x(x-7+x+7)}{(x+7)(x-7)} = -\frac{1}{24} $

$ \frac{2x^2}{x^2-49} = -\frac{1}{24} \Rightarrow 48x^2 = -(x^2-49) \Rightarrow 49x^2 = 49 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1,2 = \pm 1 $

$в) \frac{5x+4}{x+2}- \frac{x-1}{x-2} = 3$

ОДЗ: $x \neq \pm 2$

$$ \frac{(5x+4)(x-2)-(x+2)(x-1)}{(x+2)(x-2)} = \frac{3}{1} $$

$$ \frac{5x^2-6x-8-(x^2+x-2)}{x^2-4} = \frac{3}{1} \Rightarrow \frac{4x^2-7x-6}{x^2-4} = \frac{3}{1} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 4x^2-7x-6 = 3(x^2-4) \Rightarrow x^2-7x+6 = 0$$

$$ D = 7^2-4 \cdot 6 = 49-24 = 25 = 5^2$$

$$ x = \frac{7 \pm 5}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 1 \\ x_2 = 6 \end{array} \right.$$

$ г) \frac{3y+1}{y-1} = \frac{y+12}{y} $

ОДЗ: $y \neq \{0;1 \}$

y(3y+1) = (y-1)(y+12)

$$ 3y^2+y = y^2+11y-12 \Rightarrow 2y^2-10y+12 = 0 \Rightarrow y^2-5y+6 = 0 $$

$$ D = 5^2-4 \cdot 6 = 1 $$

$$ x = \frac{5 \pm 1}{2} = \left[ \begin{array}{cc} y_1 = 2 \\ y_2 = 3 \end{array} \right.$$

Пример 3*. Решите уравнение:

$а) x^2-5 \frac{x^2}{|x|}-6 = 0 $

$$ \frac{x^2}{|x|} = \frac{x}{|x|} x = \left[ \begin{array}{cc} -x, x \lt 0 \\ x, x \gt 0 \end{array} \right. $$

$$ x^2-5 \frac{x^2}{|x|}-6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x^2+5x-6 = 0, x \lt 0 \\ x^2-5x-6 = 0, x \gt 0 \end{array} \right. $$

Корни каждого из уравнений:

$$ D = 5^2-4 \cdot (-6) = 25+24 = 49 = 7^2, x = \frac{-5 \pm 7}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -6 \\ x_2 = 1 \end{array} \right. $$

$$ D = (-5)^2-4 \cdot (-6) = 25+24 = 49 = 7^2, x = \frac{5 \pm 7}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_3 = -1 \\ x_4 = 6 \end{array} \right. $$

Получаем:

$$ \left[ \begin{array}{cc} \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -6 \\ x_2 = 1 \end{array} \right. ,x \lt 0 \\ \left[ \begin{array}{cc} x_3 = -1 \\ x_4 = 6 \end{array} \right. ,x \gt 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -6 \\ x_2 = 6 \end{array} \right. $$

Ответ: $\{ \pm 6\}$

б) x|x|-4x-4 = 0

$$ \left[ \begin{array}{cc} -x^2-4x-4 = 0, x \lt 0 \\ x^2-4x-4 = 0, x \gt 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x^2+4x+4 = 0, x \lt 0 \\ x^2-4x-4 = 0, x \gt 0 \end{array} \right. $$

Корни каждого из уравнений:

$$ x^2+4x+4 = (x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 $$

$$ D = 4^2-4 \cdot (-4) = 16+16 = 32, \sqrt{D} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} $$

$$ x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2} $$

Получаем:

$$ \left[ \begin{array}{cc} x = -2, x \lt 0 \\ x = 2 \pm 2\sqrt{2}, x \gt 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -2 \\ x_2 = 2 \pm 2\sqrt{2} \end{array} \right. $$

Ответ: $\{-2; 2 + 2\sqrt{2} \}$