Дробные рациональные уравнения с параметром

Примеры

Об уравнениях с параметром также см. §32 данного справочника.

Особенностью дробных рациональных уравнений с параметром являются дополнительные условия на переменные и параметры, чтобы знаменатель не превращался в 0.

Пример 1. При каких a уравнение

$$ \frac{a+3}{x+1}- \frac{5-3a}{x-2} = \frac{ax+3}{x^2-x-2} $$

имеет решение?

$$ \frac{(a+3)(x-2)-(5-3a)(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{ax+3}{x^2-x-2}$$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} (a+3-5+3a)x-2(a+3)-(5-3a) = ax+3 \\ x \neq -1, x \neq 2 \end{array} \right.} $$

$$ (4a-2)x+a-11 = ax+3 $$

$$ (3a-2)x = 14-a \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a = \frac{2}{3} \\ 0 \cdot x = 5-\frac{2}{3}, x \in \varnothing \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a \neq \frac{2}{3} \\ x = \frac{14-a}{3a-2} \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a \neq \frac{2}{3} \\ x = \frac{14-a}{3a-2} \end{array} \right.} $$

Проверяем условия $x \neq -1, x \neq 2$.

$$ \frac{14-a}{3a-2} \neq -1 \Rightarrow 14-a \neq 2-3a \Rightarrow 2a \neq -12 \Rightarrow a \neq -6 $$

$$ \frac{14-a}{3a-2} \neq 2 \Rightarrow 14-a \neq 6a-4 \Rightarrow 7a \neq 18 \Rightarrow a \neq \frac{18}{7} $$

Ответ:

При a = $\{-6; \frac{2}{3}; \frac{18}{7}\}$ решений нет; при $a \neq \{-6; \frac{2}{3}; \frac{18}{7}\}$ один корень $x = \frac{14-a}{3a-2}$

Пример 2. Решите уравнение: $ \frac{a^2-1}{ax-1}+ \frac{a-x}{a} = 1$

$$ \frac{a^2-1}{ax-1} = 1- \frac{a-x}{a} \Rightarrow \frac{a^2-1}{ax-1} = \frac{a-(a-x)}{a} \Rightarrow \frac{a^2-1}{ax-1} = \frac{x}{a}$$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a(a^2-1) = x(ax-1) \\ a \neq 0, ax \neq 1 \end{array} \right.} $$

Решаем полученное квадратное уравнение: $ax^2-x-a(a^2-1) = 0$

Дискриминант: $D = 1+4 \cdot a \cdot a(a^2-1) = 4a^4-4a^2+1 = (2a^2-1)^2$

Дискриминант $D \ge 0$ при любом значении a.

1) При $D \gt 0$:

$$ x = \frac{1 \pm \sqrt{(2a^2-1)^2}}{2a} = \frac{1 \pm |2a^2-1|}{2a} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = \frac{1-(2a^2-1)}{2a} = \frac{1-a^2}{a} \\ x_2 = \frac{1+(2a^2-1)}{2a} = a \end{array} \right. $$

Накладываем условие $ax \neq 1$.

$$ a \cdot \frac{1-a^2}{a} = 1-a^2 \neq 1 \Rightarrow a^2 \neq 0 $$

2) При D = 0 значение параметра $2a^2-1 = 0 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Один корень: $x_0 = \frac{1}{2a} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = a$

3) Исследуем особые точки $a = \pm 1$.

При a = 1 уравнение имеет вид 0+1-x = 1 $\Rightarrow$ x = 0 - один корень.

При a = -1 уравнение имеет вид 0-(-1-x) = 1 $\Rightarrow$ x = 0 - один корень.

Ответ:

При a = 0 решений нет

При $a = \pm 1$ один корень x = 0

При $a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ один корень x=a

При остальных a два корня $x_1 = \frac{1-a^2}{a}, x_2 = a$

Пример 3. Решите уравнение: $ \frac{ax^2}{x-1} = (a+1)^2$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} ax^2 = (a+1)^2 (x-1) \\ x \neq 1 \end{array} \right.} $$

Решаем полученное квадратное уравнение: $ax^2-(a+1)^2 x+(a+1)^2 = 0$

Дискриминант:

$$ D = (a+1)^4-4a(a+1)^2 = (a+1)^2 ((a+1)^2-4a) = $$

$$ = (a+1)^2 (a^2+2a+1-4a) = (a+1)^2 (a^2-2a+1) = (a+1)^2 (a-1)^2 = $$

$$ = (a^2-1)^2 $$

Дискриминант $D \ge 0$ при любом значении a.

1) При $D \gt 0$:

$$ x = \frac{(a+1)^2 \pm \sqrt{(a^2-1)^2}}{2a} = \frac{(a+1)^2 \pm (a^2-1)}{2a} $$

$$ x_1 = \frac{a^2+2a+1-(a^2-1)}{2a} = \frac{2a+2}{2a} = \frac{a+1}{a} $$

$$ x_2 = \frac{a^2+2a+1+(a^2-1)}{2a} = \frac{2a^2+2a}{2a} = \frac{2a(a+1)}{2a} = a+1 $$

Накладываем условие $x \neq 1$:

$\frac{a+1}{a} \neq 1 \Rightarrow a+1 \neq a, a \in \Bbb R$ - выполняется всегда

$a+1 \neq 1 \Rightarrow a \neq 0$

2) При D = 0 параметр равен $a^2-1 = 0 \Rightarrow a = \pm 1$

При a = 1 уравнение имеет вид: $\frac{x^2}{x-1} = 4 \Rightarrow x^2-4x+4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow $

x = 2 - один корень.

При a = -1 уравнение имеет вид: $-\frac{x^2}{x-1} = 0 \Rightarrow x = 0$ - один корень.

3) Особые точки a = 0 и a = -1(уже рассмотрели)

При a = 0 уравнение имеет вид: $0 \cdot \frac{x^2}{x-1} = 1 \Rightarrow x \in \varnothing$, решений нет.

Ответ:

При a = 0 решений нет

При a = -1 один корень x = 0

При a = 1 один корень x = 2

При остальных a два корня $x_1 = \frac{a+1}{a}, x_2 = a+1$

Пример 4. Решите уравнение: $ \frac{5a}{x+a} - \frac{2a}{x+2a} + \frac{3a}{x+3a} = 8 $

1) Замена переменной:

$$ \frac{5a}{x+a} - \frac{2a}{x+2a} + \frac{3a}{x+3a} = 8 \iff {\left\{ \begin{array}{c} z = x+2a \\ \frac{5a}{z-a} - \frac{2a}{z} + \frac{3a}{z+a} = 8 \end{array} \right.} $$

$$ \frac{5a}{z-a} + \frac{3a}{z+a} = 8 + \frac{2a}{z}$$

$$ \frac{a(5(z+a)+3(z-a) )}{z^2-a^2} = \frac{8z+2a}{z} $$

$$ \frac{a(8z+2a)}{z^2-a^2} = \frac{8z+2a}{z} \Rightarrow (8z+2a) \Biggl( \frac{a}{z^2-a^2}- \frac{1}{z}\Biggr) = 0 $$

$$ \left[ \begin{array}{cc} 8z+2a = 0 \\ \frac{a}{z^2-a^2} - \frac{1}{z} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} z = -\frac{a}{4} \\ a^2+az-z^2 = 0 \end{array} \right., z \neq 0, z \neq \pm a $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ z^2-az-a^2 = 0 $$

$$ D = a^2+4a^2 = 5a^2, z = \frac{a \pm \sqrt{5a^2}}{2} = \frac{a(1 \pm \sqrt{5})}{2} $$

2) Накладываем условия $z \neq 0, z \neq \pm a$ на полученные решения.

$$ z = - \frac{a}{4} \neq 0 \Rightarrow a \neq 0, z = -\frac{a}{4} \neq \pm a \Rightarrow a \neq 0 $$

$$ z = \frac{a(1 \pm \sqrt{5})}{2} \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 $$

$$ z = \frac{a(1 \pm \sqrt{5})}{2} \neq \pm a \Rightarrow a(1 \pm \sqrt{5}) \neq \pm 2a \Rightarrow a \neq 0 $$

3) Особая точка a = 0.

При a = 0 исходное уравнение является ложным: 0 = 8, решений нет.

4) Возвращаемся к исходной переменной: x = z-2a

$$ x_1 = -\frac{a}{4}-2a = -\frac{9}{4} a $$

$$ x_2 = \frac{a(1-\sqrt{5})}{2}-2a = \frac{a(1-\sqrt{5}-4)}{2} = \frac{a(-\sqrt{5}-3)}{2} $$

$$ x_2 = \frac{a(1+\sqrt{5})}{2}-2a = \frac{a(1+\sqrt{5}-4)}{2} = \frac{a(\sqrt{5}-3)}{2} $$

Ответ:

При a = 0 корней нет

При $a \neq 0$ три корня $x_1 = -\frac{9}{4} a; x_{2,3} = \frac{a(\pm\sqrt{5}-3)}{2}$