Делимость чисел. Признаки делимости
Делитель числа
Пусть a и b – целые числа.
Число b называется делителем числа a, если существует такое целое число c, что выполняется равенство: a = b $\cdot$ с.
В этом случае говорят, что a делится на b нацело или a кратно b.
Также говорят о делимости a на b.
Записывают: a ⋮ b
Например, множество всех целых делителей числа 12:
$$ A = \{n | 12 ⋮ n,n \in \Bbb Z\} $$
$$ A = \{ \pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 6; \pm 12 \} $$
Если число a имеет два взаимно простых делителя b и c, то произведение bc также является делителем для a:
$$(a ⋮ b и a ⋮ c) \iff a ⋮ bc; b, c - взаимно \quad простые$$
Например:
Число 105 делится на 3 и на 5. Значит, оно также делится на 15, т.е. 105 ⋮ 15
Число 231 делится на 7 и на 11. Значит, оно также делится на 77, т.е. 231 ⋮ 77
Признаки делимости
Чтобы определить делимость без самого деления, существует набор методов «экспресс-анализа», которые называют признаками делимости.
Двузначные грани числа – разбиение числа на группы по 2 цифры, считая справа налево. Например: 1|23|45|67.
Трёхзначные грани числа – разбиение числа на группы по 3 цифры, считая справа налево. Например: 1|234|567.
Знакопеременная сумма граней – каждая грань входит со знаком +/-, последняя с +.
|
Делитель |
Признак делимости |
Пример |
|
2 |
Число заканчивается чётной цифрой {0;2;4;6;8} |
1028 |
|
3 |
Сумма цифр числа делится на 3 |
1029 1+2+9 = 12 |
|
4 |
Число, составленное из двух последних цифр, делится на 4 |
1028 28:4 = 7 |
|
5 |
Число заканчивается на 0 или 5 |
1025 |
|
7 |
Число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой, делится на 7 |
1491 149-2 = 147 147:7 = 21 |
|
Знакопеременная сумма 3-значных граней числа делится на 7 |
1|491 -1+491 = 490 490:7 = 70 |
|
|
8 |
Число, составленное из трёх последних цифр, делится на 8 |
1736 736:8 = 92 |
|
9 |
Сумма цифр числа делится на 9 |
1026 1+2+6 = 9 |
|
10 |
Число заканчивается на 0 |
1030 |
|
11 |
Сумма цифр на нечётных позициях и сумма цифр на нечётных позициях либо равны, либо отличаются на число, кратное 11 |
1408 (1+0)-(4+8) = -11 |
|
Знакопеременная сумма цифр делится на 11 или равна 0 |
-1+4+8 = 11 |
|
|
13 |
Число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой, делится на 13 |
1131 113+4 $\cdot$ 1 = 117 11+4 $\cdot$ 7 = 39 39:13 = 3 |
|
Знакопеременная сумма 3-значных граней числа делится на 13 |
1|131 -1+131 = 130 130:13 = 10 |
|
|
17 |
Число, полученное добавлением последней цифры, умноженной на 12, к исходному числу с отброшенной последней цифрой, делится на 17 |
1479 147+12 $\cdot$ 9 = 255 25+12 $\cdot$ 5 = 85 85:17 = 5 |
|
Число, полученное вычитанием последней цифры, умноженной на 5, к исходному числу с отброшенной последней цифрой, делится на 17 |
1479 147-5 $\cdot$ 9 = 102 10-5 $\cdot$ 2 = 0 |
|
|
19 |
Число, полученное добавлением удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой, делится на 19 |
1273 127+2 $\cdot$ 3 = 133 13+2 $\cdot$ 3 = 19 19:19 = 1 |
|
23 |
Число, полученное добавлением утроенного числа из двух последних цифр с числом сотен, делится на 23. |
2047 20+3 $\cdot$ 47 = 161 1+3 $\cdot$ 61 = 184 1+3 $\cdot$ 84 = 253 253:23 = 11 |
|
$2^n$ |
Число из n последних цифр числа делится на $2^n$ |
121211616 делится на 16 |
|
$5^n$ |
Число из n последних цифр числа делится на $5^n$ |
212125 делится на 125 |
|
$10^n$ |
n последних цифр числа – нули |
21000 делится на 1000 |
Примеры
Пример 1. Число 15464*543 делится на 3. Какие цифры могут стоять на месте звёздочки?
Обозначим цифру на месте звёздочки x. Сумма всех цифр:
1+5+4+6+4+x+5+4+3 = 32+x
Сумма должна делиться на 3:
x
1
4
7
32+x
33
36
39
Ответ: {1;4;7}
Пример 2. Число 14*6* делится на 45. Какое это число?
45 = 9 $\cdot$ 5. Значит, данное число делится на 9 и на 5.
Делимость на 9 требует сумму цифр, кратную 9: 1+4+x+6+y = 9k
Делимость на 5 даёт y = 0 или y = 5.
Получаем, учитывая, что x,y – цифры:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} y = 0 \\ 1+4+x+6+0 = 9k \end{array} \right.} \Rightarrow 11+x = 9k \Rightarrow x = 7 $$
$$ {\left\{ \begin{array}{c} y = 5 \\ 1+4+x+6+0 = 9k \end{array} \right.} \Rightarrow 16+x = 9k \Rightarrow x = 2 $$
Ответ: 14760 или 14265
Пример 3. В течение месяца три воскресенья пришлись на чётные числа. Какие это числа? Каким днём недели было 7 число этого месяца?
Пусть число первого воскресенья месяца $s_1 = a$.
Тогда числа последующих воскресений: $s_k = a+7k$
Эти числа могут быть чётными только, если: 1) a - чётное, 2) между воскресеньями проходило по 2 недели: $s_2 = a+14$ ,$s_3 = a+28 \le 31$
Из последнего неравенства получаем, что a = 2.
Значит, воскресенья были 2, 16 и 30 числа.
Получаем, что 7 число было в пятницу.
Ответ: 2,16 и 30 числа; пятница.
Пример 4. Является ли число 12345678926 квадратом?
Если число 12345678926 = $n^2$, n заканчивается на 4 или 6, т.е. n является четным: n = 2k. Его квадрат $n^2 = 4k^2$ должен делиться на 4.
Две последние цифры данного числа дают 26, при делении на 4 получаем:
26:4 = 7,5
Таким образом, данное число не делится на 4 и не может быть квадратом.
Ответ: нет
Пример 5. Делится ли число $10^{2020}$ + 8 на 9?
$$ 10^{2020} + 8 = 10000…08 $$
Сумма цифр данного числа 1+8 = 9 – делится на 9.
Значит, само число также делится на 9.
Ответ: да
