Декартово произведение двух множеств
Понятие декартова произведения
Множество всех возможных пар, составленных из элементов множества A и B, называется декартовым произведением этих множеств:
$$ A \times B = \{(a,b)| a \in \Bbb A, b \in \Bbb B \} $$
Мощность декартова произведения равно произведению мощностей исходных множеств: $|A \times B| = |A| \cdot |B|$. Это справедливо как для конечных, так и бесконечных множеств.
Декартово произведение некоммутативно: $A \times B \neq B \times A$
Произведение $A \times A = A^2$ называют декартовым квадратом.
Например:
Если A = {1;3;5}, B = {2;4}, их декартово произведение – это множество пар:
$A \times B$ = {(1;2),(1;4),(3;2),(3;4),(5;2),(5;4)}
Мощность декартова произведения $n(A \times B) = 6 = \underbrace{n(A)}_{3\text{}} \cdot \underbrace{n(B)}_{2\text{}} $
Произведение в другом порядке:
$B \times A$ = {(2;1),(2;3),(2;5),(4;1),(4;3),(4;5)}
Множества $A \times B$ и $B \times A$ отличаются.
Табличное представление декартовых произведений
Таблица умножения или таблица квадратов натуральных чисел являются примером функций, заданных на декартовых произведениях.
Например, таблица квадратов натуральных чисел:
1
2
3
4
5
1
121
144
169
196
225
2
441
484
529
576
625
3
961
1024
1089
1156
1225
4
1681
1764
1849
1936
2025
5
2601
2704
2809
2916
3025
Соответствует декартову произведению двух множеств
A = {1;2;3;4;5} и B{1;2;3;4;5}
На котором задана функциональная зависимость:
$$f(A \times B) = {f(a,b) | f(a,b) = (10a+b)^2, a \in \Bbb A, b \in \Bbb B}$$
Второй пример – турнирная таблица встреч команд-участников чемпионата
Для пяти команд, если встречи две и на первом месте в паре – команда-хозяин, получаем:
1
2
3
4
5
1
-
(1;2)
(1;3)
(1;4)
(1;5)
2
(2;1)
-
(2;3)
(2;4)
(2;5)
3
(3;1)
(3;2)
-
(3;4)
(3;5)
4
(4;1)
(4;2)
(4;3)
-
(4;5)
5
(5;1)
(5;2)
(5;3)
(5;4)
-
В этом случае:
$$ f(A \times B) = \{(a,b)|a \neq b,a \in \Bbb A, b \in \Bbb B\} $$
Координатная плоскость как декартово произведение
Координатная плоскость является декартовым квадратом множества действительных чисел: $ \Bbb R \times \Bbb R = \Bbb R^2$. Точки, соответствующие полученным парам чисел, полностью заполняют плоскость.
Принадлежность точки координатной плоскости можно записать: $ (x,y) \in \Bbb R^2$
Множество $ \Bbb R^2$ является континуальным и эквивалентно $ \Bbb R^2 \sim \Bbb R \sim [0;1]$
Бесконечный квадрат имеет столько же точек, сколько единичный отрезок (!)
Примеры
Пример 1. Найдите декартовы произведения и декартовы квадраты множеств:
а) A = {0;1}, B = {3;5;7}
$ A \times B$ = {(0;3),(0;5),(0;7),(1;3),(1;5),(1;7)}
$ B \times A$ = {(3;0),(3;1),(5;0),(5;1),(7;0),(7;1)}
$ A^2$ = {(0;0),(0;1),(1;0),(1;1)}
$B^2 $ = {(3;3),(3;5),(3;7),(5;3),(5;5),(5;7),(7;3),(7;5),(7;7) }
б) A = {a;b;c}, B = {e;f}
$ A \times B$ = {(a;e),(a;f),(b;e),(b;f),(c;e),(c;f)}
$ B \times A$ = {(e;a),(e;b),(e;c),(f;a),(f;b),(f;c)}
$ A^2$ = {(a;a),(a;b),(a;c),(b;a),(b;b),(b;c),(c;a),(c;b),(c;c) }
$B^2 $ = {(e;e),(e;f),(f;e),(f;f)}
Пример 2. Отметьте на координатной плоскости точки множеств $A \times B$ и $B \times A$, найдите их пересечение, если
а) A = {2;3;5}, B = {-2;3}
Точки $ A \times B$ синие, точки B×A красные, точка пересечения $ A \times B \cap B \times A$ = {(3,3)} зелёная.
б) A = {-1;2}, B = {0;2;4}
Точки $ A \times B$ синие, точки B×A красные, точка пересечения $ A \times B \cap B \times A$ = {(2,2)} зелёная.
