Числовые промежутки

Числовая прямая

Говорят, что задана числовая прямая, если на прямой выбрана точка O (начало отсчёта), точка E справа от точки O, и отрезок OE выбран как единичный отрезок.

Существует взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел $\Bbb R$ и множеством точек числовой прямой, при котором:

$$ 0 \mapsto O, 1 \mapsto E $$

нулю соответствует точка O, единице – точка E.

(О взаимно однозначном соответствии между множествами – см. §11 данного справочника).

Точка O разбивает числовую прямую на два луча.

Луч OE называется положительной полуосью и содержит точки, соответствующие $ \Bbb R_+$ - положительным действительным числам.

Второй луч, дополнительный к OE, называется отрицательной полуосью и содержит точки, соответствующие $ \Bbb R_-$ - отрицательным действительным числам.

Если между двумя действительными числами $p \in \Bbb R$, $q \in \Bbb R$ задано отношение $p \lt q$, то точка, соответствующая числу q, лежит правее точки, соответствующей числу p.

Виды числовых промежутков

Числовые промежутки – это подмножества множества действительных чисел $ \Bbb R$.

Отрезок
	$[a,b] = \{x|a \le x \le b,x \in \Bbb R\}$
Интервал
	$(a,b) = \{x|a \lt x \lt b,x \in \Bbb R\}$
Полуинтервал
	$(a,b] = \{x|a \lt x \le b, x \in \Bbb R\}$
	$[a,b) = \{x|a \le x \le b, x \in \Bbb R\}$
Луч
	$[a,+ \infty) = \{x|x \ge a, x \in \Bbb R\}$
	$(- \infty,a] = \{x|x \le a, x \in \Bbb R\}$
Открытый луч
	$(a,+ \infty) = \{x|x \gt a, x \in \Bbb R\}$
	$(- \infty,a) = \{x|x \lt a, x \in \Bbb R\}$

Примеры

Пример 1. Изобразите числовые промежутки на числовой прямой:

Пример 2. Решите неравенство и изобразите множество решений на числовой прямой:

Пример 3. Найдите множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл, и изобразите его на числовой прямой: