Арифметический квадратный корень и его свойства
Понятие квадратного корня
Допустим, что у нас достаточно асфальтобетона, чтобы заасфальтировать квадратную площадку общей площадью 100 м2. Какой длины будет сторона этой площадки?
Нам нужно найти такое число x, чтобы $x^2 = 100$.
Вообще говоря, таких чисел два: $x = \pm 10$.
Учитывая условие задачи, выбираем положительный ответ, 10 м.
Обобщим задачу и построим график.
Решаем уравнение
$$ x^2 = a $$
Положительный корень этого уравнения называют арифметическим квадратным корнем из a:
$$ x_1 = \sqrt a $$
Отрицательный корень записывают:
$$ x_2 = - \sqrt a $$
Если $a \lt 0$, решений нет.
Если a = 0, решение одно: x = 0
Если $a \gt 0$, решений два: $x = \pm \sqrt a$
Свойства арифметического квадратного корня
Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
При любом неотрицательном $a \ge 0$ выражение $\sqrt a$ имеет смысл.
Если $a \lt 0$, выражение $\sqrt a$ не имеет смысла.
Например:
$\sqrt 144 = 12; \sqrt 6,25 = 2,5; \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $
$ \sqrt{-25}$ - выражение не имеет смысла
Внимание!
Алгебраический корень существует при условии, что подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому, если под корнем есть переменные («буквы»), всегда говорят о допустимых значениях этих переменных.«Допустимость» очень важна на практике: программное обеспечение, в котором не учитывается деление на 0 или отрицательная величина под корнем, приводит к ошибкам вычислений, потере управления и выходу из строя оборудования!
Если выражение $ \sqrt a$ имеет смысл, то $ \sqrt a \ge 0$ и $(\sqrt a)^2 = a.$
Например:
$ ( \sqrt{17})^2 = 17; ( \sqrt 1,8)^2 = 1,8 $
$(\sqrt{-17})^2$ - не имеет смысла
Арифметический корень из квадрата числа всегда существует и равен модулю этого числа:
$$ \sqrt{a^2} = |a|, a \in \Bbb R $$
Арифметический корень из чётной степени числа всегда существует и равен модулю степени в два раза меньшей:
$$ \sqrt{a^{2k}} = |a^k |, a \in \Bbb R, k \in \Bbb N $$
Например:
$ \sqrt{17^2} = 17; \sqrt{(-17)^2} = 17$
$ \sqrt{3^6} = 3^3 = 27; \sqrt{(-3)^6} =3^3=27$
Если натуральное число a не является квадратом какого-либо натурального числа, то $\sqrt a$ – иррациональное число.
Например:
$a = 81 \in \Bbb N, \sqrt a = \sqrt{81} = \sqrt{9^2} = 9 \in \Bbb N$ - натуральное число
$a = 82 \in \Bbb N, \sqrt a = \sqrt{82} \in \mathbf I$ - иррациональное число
О натуральных числах – см. §9 данного справочника;
об иррациональных числах – см.§15 данного справочника.
Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел:
$$ \sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b, \quad a \ge 0, b \ge 0 $$
И наоборот:
$$ \sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}, \quad a \ge 0, b \ge 0 $$
То же справедливо для произведения любого количества неотрицательных чисел:
$$ \sqrt{abc…} = \sqrt a \cdot \sqrt b \cdot \sqrt c …, \quad a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0, … $$
$$ \sqrt a \cdot \sqrt b \cdot \sqrt c … = \sqrt{abc…}, \quad a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0, …$$
Например:
$ \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt 9 \cdot \sqrt 25 = 3 \cdot 5 = 15$
$ \sqrt{14 \cdot 21 \cdot 6} = \sqrt{2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$
$\sqrt 2 \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6 $
Корень из частного неотрицательного и положительного числа равен частному корней из этих чисел:
$$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b}, \quad a \ge 0, b \gt 0 $$
И наоборот:
$$ \frac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\frac{a}{b}}, \quad a \ge 0, b \ge 0 $$
Например:
$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt 9}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$
$ \sqrt{2 \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1,5 $
Примеры
Пример 1. Вычислите:
а) $ а) -2 \sqrt{0,01} +3,2- \sqrt{81} = -2 \cdot 0,1+3,2-9 = -6 $
б)$ \sqrt{10^2-8^2}+14 = \sqrt{(10-8)(10+8)}+14 = \sqrt{36}+14 = 6+14 = 20$
в)$ \sqrt{2(0,9^2+1,19)} - \sqrt{9^2-8^2-17} = \sqrt{2(0,81+1,19)} - \sqrt{(9-8)(9+8)-17)} =$
$ = \sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{1 \cdot 17-17} = 2-0 = 2$
г)$ \sqrt{\sqrt{(-1)^2} + \sqrt{1 \frac{9}{16}}} - (\sqrt{17})^2 = \sqrt{1+ \sqrt{\frac{25}{16}}}- 17 = \sqrt{1+ \frac{5}{4}}-17 = \sqrt{\frac{9}{4}} - 17 = \frac{3}{2}-17 =$
= -15,5
Пример 2. Из формулы $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$ для десятичной системы исчисления получаем важное следствие:
$$ \sqrt{10^{2k}} = 10^k или \sqrt{\underbrace{100…0…0}_{\text{2k нулей}}} = 1 \underbrace{00…0}_{\text{k нулей}}, а также \sqrt{\underbrace{0,00…0…0}_{\text{2k нулей}}1} = \underbrace{0,0…0}_{\text{k нулей}}1 $$
Например:
$$ \sqrt{10000} = 100, \sqrt{0,0001} = 0,01, \sqrt{0,000001} = 0,001 $$
Найдите значение корня:
$а) \sqrt{250000} = \sqrt{25 \cdot 10000} = 5 \cdot 100 = 500$
$б) \sqrt{0,000121} = \sqrt{121 \cdot 0,000001} = 11 \cdot 0,001 = 0,011$
$ в) \sqrt{0,0016} = \sqrt{16 \cdot 0,0001} = 4 \cdot 0,01 = 0,04 $
$г) \sqrt{16900} = \sqrt{169 \cdot 100} = 13 \cdot 10 = 130$
Пример 3. Найдите область допустимых значений для переменной выражения:
а) $\sqrt{x-5}$
$ x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5 $
x $ \in [5;+ \infty) $
б)$ \sqrt{7-a}$
$7-a \ge 0 \Rightarrow a-7 \le 0 \Rightarrow a \le 7 $
$ a \in (- \infty;7] $
в)$ \frac{1}{\sqrt{x+4}}$
$x+4 \gt 0 \Rightarrow x \gt -4$
$ x \in (-4;+ \infty) $
$г) \sqrt{-2y^2}$
$-2y^2 \ge 0 \Rightarrow y^2 \le 0 \Rightarrow y = 0$
$y \in \{0 \}$
Пример 4*. При каких значениях a имеет смысл выражение:
$а) \sqrt{(-a)^2}$
$(-a)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 \ge 0 \Rightarrow a \in \Bbb R $
Выражение имеет смысл при любом действительном $ a \in \Bbb R $
$ б) \sqrt{-a^2}$
$ -a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 \le 0 \Rightarrow a = 0$
Выражение имеет смысл только при a = 0
$в) \sqrt{a^2+7}$
$ a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2+7 \ge 7 \gt 0 $
Выражение имеет смысл при любом действительном $ a \in \Bbb R $
$г) \sqrt{-4a^2+4a-1}$
$ -4a^2+4a-1 = -(4a^2-4a+1) = -(2a-1)^2 $
Решаем неравенство: $-(2a-1)^2 \ge 0 \Rightarrow (2a-1)^2 \le 0 \Rightarrow 2a-1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
Выражение имеет смысл только при $a = \frac{1}{2}$
